Ііі. Приклади розв’язання задач

Стаціонарні випадкові процеси

1.12.1. Строго стаціонарні процеси або процеси, стаціонарні у вузькому розумінні.

Стаціонарним процесом у вузькому розумінні або строго стаціонарним процесом називають випадковий процес x (t), t Î T, який має ту властивість, що для довільного фіксованого набору t ₁, t ₂, …, t_n з Т та довільного дійсного h такого, що t ₁ + h, t ₂ + h,…, t_n + h Î Т, розподіли векторів

(x (t ₁), x (t ₂),…, x (t_n)), (x (t ₁+ h), x (t ₂ + h),…, x (t_n + h))

співпадають.

Припустимо, що існують моменти першого і другого порядку процесу x (t). Тоді з означення легко випливають наступні дві властивості математичного сподівання m (t) та коваріаційної функції c (s, t) і кореляційної функції r (s, t) строго стаціонарного процесу:

1) Функція m (t) є сталою величиною

m (t) = const. (1.6)

2) Функції c (s, t) і r (s, t) залежать лише від різниці їх аргументів t – s. Більш точно це означає, що на множині D = T – T = { t: t = t – s, t Î T, s Î T } існують функції C (t) і R (t), такі, що

C (s, t) = C (t) ê _{t = t – s}, r (s, t) = R (t) ê _{t = t – s}. (1.7)

Вправа. Обґрунтувати щойно вказані властивості.

1.12.2. Процеси, стаціонарні в широкому розумінні

Випадковий процес називається стаціонарним в широкому розумінні, якщо для нього є справедливими співвідношення (1.6) і (1.7).

Питання до означень і вправа. Чи обов’язково стаціонарний у вузькому розумінні процес є стаціонарним у широкому розумінні і навпаки? Переконатися, що для гауссівського випадкового процесу зазначені поняття стаціонарності співпадають.

1.13. Нехай x (t) = x × t, t >0 (1.8)

– випадковий процес, де x – випадкова величина, яка може приймати значення 1 або 2 з імовірністю ½ кожне. Зобразити всі реалізації процесу та знайти всі скінченновимірні функції розподілу.

Розв’язання.

Реалізаціями процесу будуть дві функції: x (t) = t та x(t) = 2 t, що визначені на додатній півосі (отримуємо це підстановкою x = 1 та x = 2 у вираз (1.8)). Графіки цих функцій подано на наступному рисунку:

Знайдемо спочатку функцію розподілу випадкової величини x:

F_x (x) = P (x < x) =

Знайдемо тепер скінченновимірні функції розподілу випадкового процесу x (t).

Одновимірна функція розподілу: для x Î (– ¥, ¥) маємо

F_t (x) = P (x_t < x) = P (xt < x) = P (x < x / t) =

= F (x / t) = =

Багатовимірна функція розподілу:

(x ₁, x ₂,…, x_n) = P () =

= P (x t ₁ < x ₁, x t ₂ < x ₂, …, x t_n < x_n) = P (x < x ₁¤ t ₁, x < x ₂¤ t ₂,…, x < x_n ¤ t _n) =

= P (x < { x_і ¤ t_і }) = F_x ( { x_і ¤ t_і }) =

= .

1.14. Нехай x (t)= t + x ₁cos(at) + x ₂sin(at) – випадковий процес, t Î(-¥, +¥); x ₁, x ₂ – некорельовані випадкові величини; a = const. Відомо: Mx ₁= Mx ₂=0; Dx ₁=s₁²; Dx ₂=s₂².

а) Визначити, чи є процес x (t) стаціонарним.

Розв’язання.

Мx (t) = М (t + x ₁cos at + x ₂sin at) = t + cos at Мx ₁ + sin at Мx ₂ = t ¹ const.

Таким чином, процес не є стаціонарним ні в вузькому, ні в широкому розумінні.

б) Нехай h (t) = x (t) – t. Визначити, чи є процес h (t) строго стаціонарним.

Розв’язання. Легко бачити, що коли x ₁ і x ₂ мають різні розподіли, то процес h (t) не буде строго стаціонарним. Дійсно, x (0) = x ₁, x (p ¤(2 a)) = x ₂, тобто у точках 0 і p ¤(2 a) процес має різні розподіли. Якщо навіть x ₁ і x ₂ мають однакові розподіли, то h (t) все одно, взагалі кажучи, не буде стаціонарним.

Дійсно, нехай ці величини навіть співпадають: x ₁ = x ₂ = x. Тоді h (t) = x (cos(at) + sin(at)) = x cos(p ¤4 – a t), і якщо тільки x не є тотожнім нулем, то, взагалі кажучи, останній вираз має різні розподіли ймовірностей при різних значеннях t.

З іншого боку, процес h (t) є стаціонарним у широкому розумінні навіть при менш обтяжливих обмеженнях на параметри цього процесу, що видно, наприклад, з наступної задачі в).

в) Переконатись, що процес h (t) буде стаціонарним в широкому розумінні за наявності умови Dx ₁ = Dx ₂ < + ¥.

Розв’язання. Нехай Dx ₁ = Dx ₂ = s².

Мh (t) = М (x ₁cos at + x ₂sin at) = cos at Мx ₁ + sin at Мx ₂ = 0. (1.9)

Перевіримо, чи виконується друга вимога означення стаціонарного процесу у широкому розумінні. Для цього знайдемо коваріаційну функцію процесу h (t):

c (t, s) = Mh_th_s – Mh_tMh_s = Mh_th_s = М (x ₁cos at + x ₂sin at) (x ₁cos as + + x ₂sin as) = М (x ₁²cos at cos as + x ₁ x ₂ cos at sin as + x ₁ x ₂ cos as sin at + x ₂²sin at sin as) = Мx ₁²cos at cos as + Mx ₁ x ₂ cos at sin as + Mx ₁ x ₂cos as sin at + Mx ₂²sin at sin as.

Внаслідок некорельованості x ₁ і x ₂ та рівності (1.9) величина Мx ₁ x ₂ = 0, тому останній вираз дорівнює

s ₁² cos at cos as + s ₂² sin at sin as = s²(cos at cos as + sin at sin as) = s ²cos(t – s) a.

Дата добавления: 2017-02-01