Отримали, що коваріаційна функція процесу h(t) залежить лише від різниці t – s. Таким чином, процес h(t) буде стаціонарним в широкому розумінні.

1.15. Нехай для процесу з незалежними приростами x (t) відомі математичне сподівання Мx (t) = m (t) і дисперсія D x (t) = d (t). Знайти

а) математичне сподівання та дисперсію різниць:

M (x (t)– x (s)), D (x (t)– x (s));

б) вирази для c (s, t) — коваріаційної функції і r (s, t) —кореляційної функції даного процесу.

Розв’язання.

а) Математичне сподівання: M (x (t)– x (s)) = m (t)– m (s). Тут не відіграють ролі ніякі спеціальні властивості процесу x (t).

Дисперсія. Нехай s < t. Маємо x (t) = D (x (t) – x (s) + x (s)).

Оскільки величини x (t) – x (s) та x (s) незалежні за означенням, то останній вираз дорівнює D (x (t) – x (s)) + D (x (s)). Отже, Dx (t) = D (x (t) – x (s)) + D (x (s)), тому

D (x (t) – x (s)) = Dx (t) – Dx (s),

Так що D (x (t) – x (s)) = d (t) – d (s), тобто дисперсія різниці дорівнює тут різниці дисперсій. Як наслідок одержаного співвідношення вбачаємо, що дисперсія процесу з незалежними приростами є монотонно зростаючою функцією часу.

б) Нехай s < t. Тоді

c (s, t) = Mx (t) x (s) – Mx (t) Mx (s) = M (x (t) – x (s) + x (s)) x (s) – m (t) m (s) =

= M (x (t) – x (s))× x (s) + M (x (s)× x (s)) – m (t) m (s) =

= M (x (t) – x (s))× Mx (s) + Mx ²(s) – m (t) m (s) =

= (Mx (t) – Мx (s))× Mx (s) + Mx ²(s) – m (t) m (s) =

= Mx (t) Mx (s) – М ² x (s) + Mx ²(s) – m (t) m (s) = M x ²(s) – М ² x (s) = D (s), s < t.

Тому для загального випадку (коли не обов’язково t < s) маємо:

c (s, t) = D (min(t, s)).

Знайдемо тепер вираз для кореляційної функції.

r (t, s) =

ІV. ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ’ЯЗАННЯ.

1.16. Нехай x (t)= x × t + a – випадковий процес, t Î(-¥; +¥); x — випадкова величина, x Î N (m, s); а = const. Зобразити реалізації процесу та знайти його математичне сподівання, дисперсію, коваріаційну та кореляційну функції.

1.17. Нехай x (t) = x + t – випадковий процес, t Î(-¥; +¥); x — випадкова величина, F (x) – функція розподілу випадкової величини x. Зобразити реалізації процесу та знайти всі його скінченновимірні функції розподілу.

1.18. Нехай h та z — випадкові величини, такі що h Î N (0, s) та zÎ N (0, s). Розглянемо випадковий процес x (t)= (h + z)/ t, де t > 0. Знайти всі скінченновимірні функції розподілу цього процесу.

1.19. Нехай 1 £ k £ n x_k, h_k – попарно некорельовані випадкові величини, Mx ₁= Mx ₂=0; Dx_k = Dh_k = s_k ². Випадковий процес x (t) задається рівністю

x (t) = (x _k cos(a _k t) + h _k sin(a _k t)),

де t Î(-¥; +¥), a _k — невипадкові коефіцієнти. Знайти математичне сподівання, дисперсію, коваріаційну та кореляційну функції процесу. Переконатися, що процес є стаціонарним в широкому розумінні.

1.20. Нехай z ₁,…, z _n — комплекснозначні випадкові величини, для яких Mz _k = 0, 1 £ k £ n, M = 0 при k ¹ j (риска зверху — знак комплексного спряження), M ú z _k ú ² = s_k ², 1 £ k £ n. Покладемо

z (t) = , - ¥ < t < + ¥,

де w _k — довільні дійсні числа. Довести, що z (t) — стаціонарний у широкому розумінні процес, для чого знайти його математичне сподівання і коваріаційну функцію.

Дата добавления: 2017-02-01