Закон распределения двумерной случайной величины 2 страница

Найдем выборочное значение , объединив крайние интервалы для маленьких частот m_i (табл.4). Это объединение не является необходимым, но вполне применимо для упрощения в случае маленьких частот.

Таблица 4

Номер интервала		mi	npi	mi – npi	(mi – npi)^2
	120-140
	140-160
	160-180					0,111
	180-200
	200-220
Окончание табл.4
Номер интервала		mi	npi	mi – npi	(mi – npi)^2
	220-240			–		0,143
	240-260
	260-280

Таким образом, если после объединения число интервалов k = 6, а число наложенных связей , то число степеней свободы . Поэтому по таблице критических значений (прил.3) имеем . Сравнивая найденное значение с критическим (0,254 < 7,82), получим, что рассматриваемые данные могут быть из нормально распределенной совокупности.

Для получения интервальной оценки найдем из условия , т.е. и , и радиус интервала .

Вычислим доверительный интервал для параметра с надежностью :

.

Пусть для изучаемой системы случайных величин (X, Y) получена выборка значений системы (x_i, y_i) с соответствующими совместными частотами m_ij . Объем выборки , каждое значение x_i встречается с частотой , а каждое значение y_j встречается, соответственно, с частотой . Условные средние и представляют отдельные значения для регрессий соответственно Y на X и X на Y:

, ().

По выборке системы СВ определяют выборочные наилучшие линейные регрессии, которые приближенно выражают регрессионную (или корреляционную) зависимость между рассматриваемыми в системе случайными величинами:

, ,

где , – выборочные отклонения для X и Y соответственно. выборочный коэффициент корреляции

.

выборочные регрессии Y на X и X на Y приближают точки () и () соответствующих условных средних и соответственно. По величине коэффициента или по значению угла между прямыми выборочных регрессий можно сделать вывод о качестве связи между случайными величинами. Для расчета , и удобно использовать условные варианты для X и Y:

, , .

Пример 15. Пусть имеется 100 сгруппированных наблюдений двух измеримых признаков X и Y, по которым составлена корреляционная таблица () (табл.5).

Таблица 5

Y	X	nj
								33,0 37,78 45,11 45,45 50,83
mi							n = 100
	18,00	23,71	34,67	40,92	46,57	58,0

Найти выборочные регрессии и оценить качество связи признаков.

Решение. В табл.5 уже найдены отдельные частоты n_j для y_j (суммы частот m_ij по строкам), частоты m_i для x_i (сумма частот m_ij по столбцам) и условные средние. Например:

, .

Для определения выборочных регрессий перейдем к условным вариантам.

Наибольшая частота, ближайшая к центру таблицы, m ₄₃ = 35 и, следовательно, соответствующие ложные нули C ₁ = x ₄ = 45 и C ₂ = y ₃ = 38, шаг h ₁ = 5 (для x_i) и h ₂ = 10 (для y_j).

Составим новую таблицу в условных вариантах для расчета характеристик (табл.6).

Таблица 6

–3	–2	–1
–2								–20
–1								–18
Окончание табл.6
–3	–2	–1
							n = 100
	–12	–28	–18

По данным табл.6 получим выборочные характеристики:

;

;

;

;

;

;

;

.

Для вычисления найдем средние суммы всех произведений u_iv_jm_ij:

.

Выборочный коэффициент корреляции

.

Уравнения выборочных регрессий имеют вид

для регрессии Y на X

;

для регрессии X на Y

.

Обе прямых регрессий проходят через точку средних ; и для построения последних достаточно найти еще по одной точке для каждой прямой.

Так как значительно отличаются от нуля, то связь между изучаемыми случайными величинами достаточно сильная, а так как это значение еще не близко к единице, связь нелинейная. Аналогичные выводы можно сделать и по величине угла между прямыми регрессий.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 4*

Задача 1. В ящике имеются a белых и b черных шаров. Найти вероятность того, что:

а) первый вынутый из ящика шар будет белым;

б) все вынутые из ящика k шары будут черными.

Значения a, b и k по вариантам следующие:

Вариант
a
b
k

Задача 2.

Вариант 1. Вящике имеются 5 деталей, изготовленных на станке № 1, и 10 деталей, изготовленных на станке № 2. Сборщик последовательно вынимает из ящика детали одну за другой. Найти вероятность того, что во второй раз будет извлечена деталь, изготовленная на станке № 1.

Вариант 2. Из трех орудий одновременно произведен залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,9, для второго и третьего орудия эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,7.

Найти вероятность того, что:

а) только одно орудие попало в цель;

б) только два орудия попали в цель;

в) все три орудия попали в цель.

Вариант 3. Три автомата производят детали, поступающие на общий склад. Производительности первого, второго и третьего автоматов относятся как 2: 3: 5. Вероятность того, что деталь, изготовленная первым автоматом, отличного качества, равна 0,9, для второго и третьего автоматов эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,85. Найти вероятность того, что наудачу взятая на складе деталь отличного качества.

Вариант 4. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии первое устройство сработает, равна 0,8; для второго и третьего устройств эти вероятности равны 0,9 и 0,8 соответственно. Найти вероятность того, что при аварии сработают:

а) только одно устройство;

б) только два устройства;

в) все три устройства.

Вариант 5. В каждом из двух ящиков содержатся 3 черных и 7 белых шаров. Из второго ящика наудачу извлечен шар и переложен в первый ящик, после чего из первого ящика наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из первого ящика, окажется белым.

Вариант 6. Студент знает 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что студент знает:

а) все три вопроса;

б) только два вопроса;

в) только один вопрос экзаменационного билета.

Вариант 7. На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготавливаются детали одинакового наименования. На первом станке изготавливают 10 %, на втором – 30 %, на третьем – 60 % всех деталей. Вероятность каждой детали быть небракованной равна 0,7, если изготовлена на первом станке; 0,8, если на втором станке и 0,9, если на третьем станке. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется небракованной.

Вариант 8. Из 18 стрелков пять попадают в мишень с вероятностью 0,8, семь – с вероятностью 0,7, четверо – с вероятностью 0,6 и двое – с вероятностью 0,9. Наудачу выбранный стрелок сделал выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?

Вариант 9. Имеются 10 одинаковых ящиков. В семи из них находится по четыре черных и пять белых шаров, а в трех – по три черных и шесть белых шаров. Из ящика, взятого наудачу, извлечен белый шар. Какова вероятность того, что шар извлечен из ящика, содержащего шесть белых шаров?

Вариант 10. С первого станка-автомата на сборку поступает 40 %, со второго – 30 %, с третьего – 20 %, с четвертого – 10 % деталей. Среди деталей первого автомата 0,1 %, второго – 0,2 %, третьего – 0,25 %, четвертого – 0,3 % бракованных деталей. Найти вероятность того, что оказавшаяся бракованной деталь изготовлена на первом автомате.

Задача 3. При установившемся технологическом процессе вероятность изготовления детали, удовлетворяющей требованиям стандарта, равна p. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу n деталей требованиям стандарта удовлетворяют:

а) ровно k деталей;

б) хотя бы одна деталь.

Значения р, п, k, l по вариантам следующие:

Вариант
p	0,9	0,85	0,8	0,75	0,7	0,8	0,65	0,9	0,7	0,9
n
k
l

Какова вероятность того, что среди 10 п деталей удовлетворяют требованиям стандарта ровно 10 деталей и от l до 10 деталей?

Задача 4. Случайная величина X задана интегральной функцией распределения:

где k – номер варианта студента; α = 0,2 k, β = 0,8 k.

Найти дифференциальную функцию (плотность вероятности), математическое ожидание и дисперсию X, а также вероятность того, что X примет значение, заключенное в интервале (α, β). Построить графики интегральной и дифференциальной функций.

Задача 5. По заданному математическому ожиданию a и среднему квадратичному отклонению σ нормально распределенной случайной величины X найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу α, β. Значения a,σ, α, βпо вариантам следующие:

Вариант
а	0,9	0,85	0,8	0,75	0,7	0,8	0,65	0,9	0,7	0,9
s
a
b

Дата добавления: 2017-02-01