Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

П Л А Н. 1. Розкладання правильного дробу на суму найпростіших





Завдання додому

Конспект; [1] с. 342 – 354;

[2] с. 267 – 271.

Питання для самоконтролю

1. Розкладання правильного дробу на суму найпростіших.

2. Інтегрування раціонального дробу.

3. Інтегрування виразів, які містять квадратний тричлен.


Л Е К Ц І Я 22

Тема: Визначений інтеграл.

Мета: ознайомити з задачами, що приводять до поняття визначеного інтеграла, з означенням визначеного інтеграла та його властивостями, теоремою Ньютона-Лейбніца.

Література: [1, с. 365-385]; [6, с. 392-400].

1. Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла.

2. Означення визначеного інтеграла та його властивості.

3. Теорема Ньютона-Лейбніца.

 

1. До поняття визначеного інтеграла приводять такі задачі:

 

1) про площу криволінійної трапеції;

2) про об’єм просторового тіла;

3) про роботу змінної сили;

4) про пройдений шлях та інші.

 

Розглянемо одну з цих задач: про площу криволінійної трапеції.

Нехай на відрізку [а; b] задано функцію

Криволінійною трапецією називається фігура, обмежена графіком даної функції у=f (x) (зверху), віссю абсцис (у=0) та відрізками прямих х=а, х=b (по боках).

Знайдемо S ABCD

y C Розіб’ємо відрізок [а; b] на n частинних

відрізків за допомогою точок

 

 
 


B а=х0 < x1 < x2 <… <xn = b

 

A D

0 a x1 x2 b x

x0 xn

 

Позначимо довжини частинних відрізків через x1 =x1– x0; x2 =x2 – x1; ...

xi =xi – xi-1;

xn =xn – xn-1;

 

Площа і – го прямокутника

Знайдемо суму площ всіх прямокутників, одержимо площу ступінчатої фігури:

Площа ступінчатої фігури наближено дорівнює площі криволінійної трапеції

S ABCD

Спрямуємо число частинних відрізків відрізка [а; b] до нескінченності

, тоді довжина кожного частинного відрізка буде прямувати до нуля (максимальна) ( max ), а площа ступінчатої фігури буде прямувати до площі трапеції, тобто:

- (границя суми нескінченно великого числа

нескінченно малих доданків)

Вираз називається інтегральною сумою, а границя її (якщо вона існує) - визначеним інтегралом.

а і b – відповідно нижня і верхня межа інтегрування;

- підінтегральна функція;

- підінтегральний вираз

- змінна інтегрування;

[а; b] – проміжок інтегрування.

Теорема 1 (достатня умова інтегрованості)

Якщо функція неперервна на відрізку [а; b], то вона інтегрована на цьому відрізку.

 

Теорема 2

Якщо функція обмежена на відрізку [а; b] і неперервна в ньому скрізь, крім скінченного числа точок, в яких функція має розрив першого роду, то вона інтегрована на цьому відрізку.

 

2. Властивості визначеного інтеграла.



1) Геометричний зміст – це площа відповідної криволінійної трапеції.

2)


3)

4)

5)

6) (аддитивність)

7)

у у

 

       
   
 
 

 


-а 0

       
   
 
 


-а 0 а х а х

 

Приклад: 1)

2)

 

Формула Ньютона-Лейбніца

Теорема: Якщо є первісною для неперервної функції на відрізку [а; b], то справедлива формула:

 

Приклад:


у

у=х2 Геометрично результат дорівнює площі

криволінійної трапеції, обмеженої зверху параболою

у=х2 на відрізку [-1; 3]

 

 
 

 

 


-1 0 3 х

 

 





Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 145; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.006 сек.