Общее уравнение окружности

Определение 33.5. Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.

Получим уравнение окружности, если известны ее центр и радиус.

Теорема 33.2. Окружность радиуса R с центром в точке M₀ (x₀; y₀) имеет уравнение

(33.7)

Доказательство. Пусть M(x; y) –– текущая точка окружности. По определению окружности расстояние MM₀ равно R (рис. 33.4)

Рис. 33.4.Окружность

Легко заметить, что точки окружности, и только они, удовлетворяют уравнению

(33.8)

Обе части уравнения неотрицательны. Поэтому после возведения их в квадрат получим эквивалентное уравнение (33.7).

Если в уравнении (33.7) раскрыть скобки и привести подобные члены, то вид его изменится. Однако любое уравнение окружности с помощью тождественных преобразований можно привести к виду (33.7). Для этого достаточно выделить полные квадраты по переменным x и y. Произведения переменных x и y общее уравнение окружности не содержит.

Дата добавления: 2014-01-04