Одно свойство фокусов и директрис

Имеет место

Теорема 34.3. Отношение расстояния от любой точки кривой второго порядка до фокуса к расстоянию от той же точки этой кривой до соответствующей этому фокусу директрисы есть величина постоянная и равная ε- эксцентриситету данной кривой.

Доказательство:

Рассмотрим случай гиперболы:

(34.1)

Ее фокус F₁(c, 0), соответствующая ему директриса d₁: и b²=c²-a² (см. равенство (34.2) и определение эксцентриситета (34.3)) Для любой точки M(x, y), лежащей на на гиперболе (и тогда ее координаты x и y должны удовлетворять уравнению (34.1)) имеем

(34.4)

И , ибо прямая d₁ имеет уравнение , (34.5)

Тогда:

Теорема 34.3 для фокуса и директрисы d₁: доказана. Для фокуса и директрисы d₂: теорема доказывается аналогично.

В случае эллипса доказательство теоремы проводится аналогично гиперболе, а для параболы теорема 34.3 просто является ее определением.

Дата добавления: 2014-01-04