Розв’язок

1) У задачі потрібно представити вектор у такому вигляді

,

де - паралельний векторові , а - перпендикулярний .

2) Для через його паралельність ненульовому векторові випливає існування такого числа , що . Тоді вектор дорівнює

.

3) Вектор перпендикулярний , отже, їхній скалярний добуток дорівнює нулю:

.

Із цього рівняння вже можна знайти величину :

.

4) Тепер можна виписати шуканий вираз для вектора :

.

Для перпендикулярної складової поки що (до наступного розділу) одержуємо такий вираз

.

5) Розв'язавши задачу, ми одержали загальну формулу для проекції одного вектора на інший, адже є ні що інше, як проекція вектора на вектор . У такий спосіб

. (6.22)

2.7. Визначення векторного добутку.

Визначення векторного добутку можна записати в такому вигляді:

(7.4)

а) б)

Рис. 2.2. Векторний добуток векторів:

а) визначення векторного добутку ;

б) векторний добуток ортів декартового базису .

2.8. Властивості векторного добутку.

2.9. Векторний добуток у декартовому базисі. Тензор Леві–Чівіта.

Векторний добуток ортів:

.

Для компактного запису значень коефіцієнтів використовується спеціальний символ , визначений у такий спосіб:

,

.

.

,

,

.

,

,

.

Сам же вектор дорівнює

.

Ці співвідношення дозволяють «скласти» ще одне правило для запам'ятовування координат векторного добутку.

Якщо ми хочемо знайти певний компонент векторного добутку, то ми після знака рівності пишемо позначення векторів у тому ж порядку, що і у векторному добутку:

Потім записуємо індекси в множників так, щоб вони складали циклічну послідовність (, або ):

.

Далі ставимо знак мінус і знову пишемо позначення векторів, але індекси міняємо місцями:

.

Аналогічно робимо й з іншими компонентами, не забуваючи циклічно переставляти індекси.

2.10. Векторний добуток у декартовому базисі. Дво- й тривимірні визначники.

Визначник другого порядку

Векторний добуток:

; .

Визначник третього порядку

.

Навівши подібні, зауважуємо, що цей вираз можна записати в такому вигляді:

.

.

Векторний добуток:

.

Правило 1.

Дата добавления: 2014-01-04