Уравнения, допускающие понижение порядка

Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений. Уравнения, допускающие понижение порядка.

Рассмотрим дифференциальное уравнение п -го порядка:

F (x, y, y′,…, y⁽ⁿ⁾) = 0, (18.1)

где F предполагается непрерывной функцией всех своих аргументов. Тогда по теореме о существовании неявной функции (см. лекцию) можно разрешить это уравнение относительно старшей производной:

у^(п) = f (x, y, y′,…, y^(n-1)) (18.2)

и сформулируем для него (без доказательства) теорему существования и единственности решения:

Теорема 18.1. Существует единственное решение уравнения (18.2), удовлетворяющее условиям

, (18.3)

если в окрестности начальных значений (х₀, у₀, у′₀ ,…, у₀^(п-1)) функция f является непрерывной функцией всех своих аргументов и удовлетворяет условию Липшица по всем аргументам, начиная со второго.

Замечание 1. Так же, как и для дифференциального уравнения 1-го порядка, задача отыскания решения уравнения (18.2), удовлетворяющего условиям (18.3), называется задачей Коши.

Замечание 2. Теорема 18.1 утверждает существование частного решения уравнения (18.2), удовлетворяющего данным начальным условиям. С геометрической точки зрения это соответствует существованию интегральной кривой, проходящей через точку . Но, используя эту теорему, можно доказать и существование общего решения уравнения (18.2), содержащего п произвольных постоянных и имеющего вид:

(18.4)

или, в неявной форме:

. (18.5)

Соотношение (18.5) будем называть общим интегралом уравнения (18.1) или (18.2).

В некоторых случаях порядок дифференциального уравнения может быть понижен, что обычно облегчает его интегрирование. Рассмотрим несколько типов подобных уравнений.

1. Уравнение не содержит искомой функции и ее производных по порядок (k – 1) включительно:

. (18.6)

В этом случае можно сделать замену р = у^(k), которая позволяет понизить порядок уравнения до n – k, так как после замены уравнение примет вид

.

Из этого уравнения можно найти р = р (х, С₁, С₂,…, С_n-k), а затем найти у с помощью интегрирования k раз функции р = р (х, С₁, С₂,…, С_n-k).

Пример.

Уравнение при замене становится уравнением 1-го порядка относительно р: , откуда . Тогда

.

2. Уравнение не содержит независимой переменной:

F (y, y′,…, y⁽ⁿ⁾) = 0. (18.7)

Порядок такого уравнения можно понизить на единицу заменой у′ = р(у). При этом производные функции f(x) по аргументу х нужно выразить через производные р по у:

и т.д.

Пример.

Пусть тогда . Отметим частное решение р = 0, то есть Если после сокращения на р получим

3. Уравнение F (х, y, y′,…, y⁽ⁿ⁾) = 0 однородно относительно аргументов y, y′,…, y^{(n )}, то есть справедливо тождество

В этом случае можно понизить порядок уравнения на единицу, вводя новую неизвестную функцию z, для которой . Тогда и т.д.

Дата добавления: 2013-12-12