Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Коэффициентами




Читайте также:
  1. Решение ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.
  2. Системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами.

 

Для некоторых видов правой части линейного неоднородного дифференциального уравнения

(22.4)

можно подобрать частное решение в виде функции с неопределенными коэффициентами, которые определяются путем подстановки этой функции в уравнение (22.4).

1. f(x) = A0 xs +A1 xs-1 +…+ As п0). При этом существует частное решение уравнения (22.4), имеющее такой же вид: y = B0 xs + B1 xs-1 +…+ Bs. Действительно, подставив эту функцию в уравнение (22.4) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим разрешимую единственным образом систему линейных уравнений: . Пример. . Будем искать частное решение в виде у = Ах + В, тогда , и после подстановки в уравнение получим: 3А + 2Ах + 2В = 3х – 5. Тогда 2А = 3, 3А + 2В = = -5. Следовательно, , и общее решение уравнения можно записать в виде: .

2. Если (то есть k = 0 является α – кратным корнем характеристического уравнения), то частное решение имеет вид: . Легко убедиться, что функция подобного вида является решением уравнения (22.4) при поставленных условиях. Пример. . Пусть Подставляя в уравнение, получим: откуда –36А = 2, 24А – 18В = 0, 6В – 6С = 5. Решая эту систему, получаем Следовательно, общее решение уравнения имеет вид: .

3. . Если число р при этом не является корнем характеристического уравнения, можно задать частное решение в виде: . Если же р – корень характеристического уравнения кратности α, частное решение имеет вид: . В обоих случаях с помощью подстановки в исходное уравнение можно убедиться, что выбранные функции являются его решениями. Пример 1. . Найдя корни характеристического уравнения k² + k – 2 = 0: k1 = 1, k2 = -2, видим, что р = -1 не является корнем этого уравнения. Поэтому будем искать частное решение в форме y = e-x(Ax + B). При этом . Подставляя в уравнение, получаем: , откуда –2А = 1, -А – 2В = 0, то есть . Итак, общее решение уравнения: . Пример 2. . Здесь р = 1 – корень характеристического уравнения кратности 2, поэтому частное решение имеет вид . Подстановка в уравнение дает 2Аех = 2ех, откуда А =1, а общее решение: у = (с1 + с2х + х²)ех.

4. В аналогичной форме задаются частные решения в случае, когда правая часть уравнения (22.1) имеет вид , где Р и Q – некоторые многочлены: а) если p ± qi - не корни характеристического уравнения, то можно подобрать частное решение в виде , где и - многочлены с неопределенными коэффициентами, степень т которых есть старшая из степеней многочленов Р и Q.

б) если p ± qi - корни характеристического уравнения кратности α, то

.

Пример.

. При этом ±- корни характеристического уравнения кратности 2, поэтому следует искать частное решение в виде: .



5. Если правая часть уравнения (22.1) представляет собой сумму функций, рассмотренных в предыдущих пунктах, то по принципу суперпозиции частное решение будет задаваться как сумма решений, соответствующих каждому из слагаемых правой части.

Пример.

Для уравнения частное решение ищем в виде:

.

 





Дата добавления: 2013-12-12; Просмотров: 71; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2018) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ip: 54.82.94.86
Генерация страницы за: 0.002 сек.