![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Лекция 20
Линейная зависимость и независимость системы функций. Определитель Вронского, его свойства. Фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения. Общее решение однородного уравнения.
Определение 20.1. Функции у1(х), у2(х),…, уп(х) называются линейно зависимыми на некотором отрезке [ a,b ], если существуют такие числа α1, α2,…, αп, хотя бы одно из которых не равно нулю, что α1у1 + α2у2 + … + αпуп = 0 (20.1) на рассматриваемом отрезке. Если же равенство (20.1) справедливо только при всех αi= 0, функции у1(х), у2(х),…, уп(х) называются линейно независимыми на отрезке [ a,b ]. Примеры.
Определение 20.2. Определитель вида
называется определителем Вронского системы функций у1, у2,…, уп.
Теорема 20.1. Если функции у1, у2,…, уп линейно зависимы на отрезке [ a,b ], то их определитель Вронского на этом отрезке тождественно равен нулю. Доказательство. Дифференцируя п -1 раз тождество α1у1 + α2у2 + … + αпуп = 0, где не все αi = 0, получим линейную однородную систему относительно α1, α2,…, αп:
Теорема 20.2. Если линейно независимые функции у1, у2,…, уп являются решениями линейного однородного уравнения (19.2) с непрерывными на отрезке [ a,b ] коэффициентами, то определитель Вронского для этих функций не может обратиться в нуль ни в одной точке отрезка [ a,b ]. Доказательство. Пусть
(Определитель этой системы, неизвестными в которой считаем
Замечание. В теореме 20.2 важно, что функции у1, у2,…, уп – решения уравнения (19.2). Для произвольной системы функций утверждение теоремы не справедливо.
Теорема 20.3. Общим решением на [ a,b ] уравнения (19.2) с непрерывными коэффициентами pi является линейная комбинация Доказательство. Для доказательства теоремы с учетом теоремы существования и единственности достаточно показать, что можно подобрать постоянные ci так, чтобы удовлетворялись произвольно заданные начальные условия:
Подставив в равенства (20.6) выражение для у вида (20.5), получим линейную систему из п уравнений относительно неизвестных с1, с2,…, сп:
определителем которой является определитель Вронского для выбранных п линейно независимых решений рассматриваемого уравнения, который по теореме 20.2 не равен нулю. Следовательно, по правилу Крамера система имеет решение при любых правых частях. Теорема доказана.
Следствие. Максимальное число линейно независимых решений однородного уравнения (19.2) равно его порядку.
Определение 20.3. Любые п линейно независимых решений однородного линейного уравнения (19.2) называются его фундаментальной системой решений. Таким образом, общее решение уравнения (19.2) является линейной комбинацией любой его фундаментальной системы решений. Лекция 21. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Построение фундаментальной системы решений. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Частное и общее решения.
Определим вид частных решений однородного линейного уравнения
в котором коэффициенты ai постоянны. Можно показать, что они имеют вид
или, после сокращения на ekx,
так называемое характеристическое уравнение для уравнения (21.1). Числа k, являющиеся его решениями, при подстановке в функцию
а соответствующее дифференциальное уравнение:
Очевидно, что частными решениями такого уравнения будут функции 1, x, x ²,…, Пусть теперь корень характеристического уравнения ki кратности αi не равен нулю. Сделаем замену переменной:
При этом корни характеристического уравнения
отличаются от корней уравнения на слагаемое –ki, так как при Таким образом, каждый кратный корень уравнения (21.2) задает серию линейно независимых частных решений уравнения (21.1), количество которых равно его кратности. Следовательно, вновь построена фундаментальная система решений. Замечание. Кратные комплексно сопряженные корни задают частные решения вида Примеры. 1. Характеристическое уравнение для уравнения 2. Для уравнения
Дата добавления: 2013-12-12; Просмотров: 408; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |