II. Неопределенный интеграл

1. Понятие неопределенного интеграла

В дифференцируемом исчислении мы решали задачу как по данной функции f(x) найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию F(x), зная ее производную (или дифференциал). Искомую функцию F(x) называют первообразной функции f(x).

F(x) – называется первообразной функции f(x) на интервале (a, b), если для любого выполняется равенство (или.

Например, первообразной функции является функция , так как .

Очевидно, что первообразными будут также любые функции , где С – постоянная, поскольку .

Теорема 1. Если F(x) является первообразной функции f(x) на , то множество всех первообразных для f(x) задается формулой , где С – постоянное число.

Док-во. Функция - первообразная f(x). Действительно, . Пусть некоторая другая отличная от первообразная функции , т.е. =. Тогда для любого имеем , а это означает, что , где С - . Следовательно, .

Множество всех первообразных функций для называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом . Таким образом =.

Здесь - называется подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, - знаком неопределенного интеграла. Операция нахождения неопределенного интеграла – интегрированием этой функции.

Дата добавления: 2013-12-12