Свойства неопределенного интеграла

а) Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции , .

Действительно, и .

Благодаря этому свойству правильность интегрирования проверяется дифференцированием.

б) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной .

Действительно, .

в) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Действительно, , где .

г) Неопределенный интеграл от алгебраического конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций.

Пусть и , тогда , где

.

д) инвариантность формулы интегрирования. Если , то и , где - произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

Доказательство. Пусть – независимая переменная, - непрерывная функция и - ее первообразная, тогда . Положим теперь, что , где - непрерывно-дифференцируемая функция. Рассмотрим сложную функцию . В силу инвариантности первого дифференциала имеем: . Отсюда .

Таким образом, формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией от нее, имеющей непрерывную производную.

Дата добавления: 2013-12-12