Уравнение пучка прямых

Def.Пучком прямых на плоскости с центром в точке М называется множество всех прямых плоскости, проходящих через точку М (рис. 13.10). Отметим, что пучок задается однозначно либо своим центром, либо двумя пересекающимися прямыми.

Рис. 13.10

Th. 13.2

Если – центр пучка, то уравнение пучка имеет вид: (13.19) или (13.20)

Доказательство.

Доказательство вытекает непосредственно из формул (13.5) и (13.7). Заметим, что уравнение пучка (13.19) не содержит прямой

Th. 13.3

Если заданы две прямые и то уравнение пучка имеет вид: (13.21 ) Причем это уравнение содержит все прямые пучка, кроме

Доказательство.

1)Докажем, что уравнение (13.21) задает прямую пучка. Для любого уравнение (13.21) является уравнением первой степени, а значит, задает прямую.

Если – центр пучка, то и Значит, координаты удовлетворяют уравнению (13.21). Таким образом, прямая, задаваемая уравнением (13.21), принадлежит пучку.

2) Докажем, что в уравнении (13.21) всегда можно подобрать значение параметра так, чтобы прямая, определяемая этим уравнением, проходила через заданную точку т.е выполнялось соотношение:

Если то и значение однозначно определяется по формуле:

Если же, но то .

N. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку пересечения прямых и а) параллельно прямой б) перпендикулярно прямой

Решение.

Искомая прямая принадлежит пучку, который задается прямыми и Запишем уравнение пучка:

.

Или

а) Значение параметра найдем из условия параллельности искомой прямой и прямой

Отсюда:

Подставляя найденное значение параметра в уравнение пучка, получаем:

– искомая прямая.

б) Значение параметра найдем из условия перпендикулярности искомой прямой и прямой

Отсюда Подставляя найденное значение параметра в уравнение пучка, получаем уравнение искомой прямой:

Ответ:

Дата добавления: 2013-12-12