Пучок плоскостей

Def. Пучком плоскостей называют множество всех плоскостей, которые проходят через одну прямую , которую называют осью пучка.

Th. 14.2

Если заданы две плоскости и то уравнение пучка имеет вид: (14.11) Причем это уравнение содержит уравнения всех плоскостей пучка, кроме

Доказательство.

1)Докажем, что уравнение (14.11) задает плоскость пучка. Для любого уравнение (14.11) является уравнением первой степени, а значит, задает плоскость.

Если – произвольная точка оси пучка, то и Значит, координаты удовлетворяют уравнению (14.11). Таким образом, плоскость, задаваемая уравнением (14.11), принадлежит пучку.

2) Докажем, что в уравнении (14.11) всегда можно подобрать значение параметра так, чтобы плоскость, определяемая этим уравнением, проходила через заданную точку т.е выполнялось соотношение:

Если то и значение однозначно определяется по формуле: Если же, но то . Таким образом, уравнение (14.11) не содержит уравнения плоскости .

N. Составить уравнение плоскости, которая проходит через прямую пересечения плоскостей и и точку

Решение.

Искомая плоскость – плоскость пучка, задаваемого уравнением

Отсюда

Поскольку точка принадлежит этой плоскости, то

Откуда Подставляя значение в уравнение пучка, получаем уравнение искомой плоскости:

Ответ.

Дата добавления: 2013-12-12