Уравнение баланса энергии подвижного потока (уравнение Д. Бернулли)

Уравнения Бернулли является дополнением к закону сохранения энергии движущих-ся жидкостей и газов. Данный закон сформулировал известный ученный Даниил Бернулли в 1738 году. Выделим в установившемся потоке жидкости трубку тока. Пусть в сечении “1 – 1” площадью ( ), которое находится на высоте ( относительно базового уровня параметры потока равны: V₁, p₁, ρ₁

Рис 2.4.2 Схема сохранения енергии движущегося потока

В сечении площадью на высоте параметры газа . Допустим, что обмен энергии между потоком и окружающей средой не осуществляется: через неко-торое время ( : жидкость из сечения ( ) переместиться на некоторое расстояние по трубке , а из сечения – на расстояние равное

Согласно уравнения неразрывности потока через выделенные сечение потока за вре-мя проходит одинаковая масса жидкости

Определим работу, которую совершают силы давления в жидкости. В сечении “1-1”

,

аналогично для сечения “2–2”

Работа выполненная над объемом жидкости между сечениями «1 – 1» и «2 – 2» будет равняться

.

Это работа увеличивает энергию массы жидкости при прохождении ею рас-стояния от сечения к сечению

Где

и энергия массы движущегося в сечениях , .

Энергия массы газа состоит из кинетической энергии, потенциальной и внутренней энергии

Кинетическая энергия характеризует способность выделенной массы газа выполнять работу при его торможении от исходной скорости до нулевой скорости =

Потенциальная энергия характеризуетэнергию силы веса и показывает какую робо-ту масса газу (может выполнить при изменении высоты сечения потока газа (от-носительно выбранного уровня

= .

Внутренняя энергия характеризует способность выделенной массы газа выполнить работу при изменении температуры:

Где

- теплоемкость газа при постоянном объеме.

Учитывая уравнения состояния газа и газовую постоянною газа

, получим

,

тогда выражение внутренней энергии газа можно записать в виде:

* при k=

где

k = - показатель адиабаты (для воздуха = 1,4).

Тогда уравнение энергии массы газа в общем виде можно записать:

поставив в уравнение , получим;

Учитывая уравнение неразрывности и сгруппировав величины с одинаковыми ин-дексами получим уравнение Д. Бернулли с учетом сжимаемости:

Так как в аэродинамике струйки газового потока находятся практически на одном уровне, то изменение энергии положения в уравнении можно не учитывать, т.е., таким образом можно считать, что

Тогда уравнение Д. Бернулли с учетом сжимаемости будет иметь вид:

При движении газа с малой дозовой скоростью сжимаемостью его можно пренеб-речь, т.е. и можно считать что температура массыжидкости не меняется, а значит внутренняя энергия по всем сечениям потока постоянная

тогда уравнения Бернулли без учета сжимаемости примет вид

Где

– статическим давлением, Н/

- динамическое давление или скоростной напор.

В общем виде уравнение Д. Бернулли без учета сжимаемости имеет вид:

- полное давление

Физический смысл уравнения Бернулли состоит в том, что при установившемся дви-жении несжимаемого газа полное давление равно сумме статического и динамического давления и является величиной постоянной во всех сечениях одного и того же потока газа.

Дата добавления: 2013-12-12