Моменты инерции твердых тел

Центр масс

Обобщенные координаты. Число степеней свободы системы

Число степеней свободы материальной системы равно числу независимых вариаций переменных величин, однозначно определяющих положение механической системы в пространстве; эти величины, в свою очередь, называются обобщёнными координатами. При изучении голономных систем число обобщённых координат равно числу степеней свободы механической системы. В качестве независимых координат могут быть выбраны любые параметры: углы, перемещения каких-либо точек системы и т. д. Обобщённые координаты обозначаются символами. В частности, все декартовые координаты точек можно выразить через обобщенные координаты

Обобщёнными скоростями называются первые производные от обобщённых координат по времени. Обобщёнными ускорениями —.

Центр масс механической системы — геометрическая точка, радиус вектор которой определяется по формуле

,

где — масса механической системы.

Для сплошного твердого тела центр масс определится заменой суммирования интегрированием

.

Центр масс называют ещё центром инерции.

Для исследования вращательного движения вводится понятие моментов инерции. Как масса является мерой поступательного движения механической системы, так моменты инерции — мерой вращательного движения. Момент инерции механической системы относительно оси вычисляется по формуле

,

где— расстояние от точки массой до оси.

При вычислении моментов инерции сплошных твердых тел сумму заменяют интегралом

.

Моменты инерции одинаковых по форме однородных тел, изготовленных из разных материалов, отличаются друг от друга. Характеристикой, не зависящей от массы материала, является радиус инерции относительно оси . Момент инерции относительно оси в этом случае определяется по формуле

.

При решении конкретных задач очень полезна бывает теорема Штейнера, позволяющая найти момент инерции тела относительно оси, если известна величина момента инерции того же тела относительно оси проходящей через центр масс и расстояние от новой оси до оси, идущей параллельно ей через центр масс

.

Встречаются такие задачи, в которых момент инерции относительно оси вращения неизвестен, но известны моменты инерции этого тела относительно других осей, которые можно связать с некоторой координатной системой (например: декартовых, , в случае описания вращательного движения ротора с неточно установленной осью вращения). В этом случае момент инерции, относительно оси, составляющей с декартовой системой координат углы, , можно определить по формуле

,

где — единичный вектор, характеризующий направление оси относительно декартовой системы координат;

— углы между осью и координатными осями .

Дата добавления: 2013-12-12