Уравнения Лагранжа II рода

Общее уравнение динамики

Принцип Лагранжа (принцип возможных перемещений)

Для равновесия механической системы с удерживающими идеальными стационарными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил на любом возможном перемещении системы равнялась нулю

.

Простота выражения элементарной работы через обобщённые силы и независимость вариаций обобщённых координат друг от друга позволяет записать принцип Лагранжа в виде

, где .

Т.е. для равновесия механической системы с идеальными, удерживающими связями необходимо и достаточно, чтобы все обобщённые силы равнялись нулю.

Для консервативной механической системы условия равновесия примут вид

, где.

Общее уравнение динамики системы получается при последовательном применении к ней вначале принципа Даламбера, а затем принципа Лагранжа

или .

При любых движениях системы с идеальными связями в каждый момент времени выполняется условие равенства нулю суммы элементарных работ всех активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении.

Уравнения Лагранжа II рода имеют вид

.

Число уравнений Лагранжа II рода равно числу степеней свободы голономной системы. Сами уравнения с точки зрения математика представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно неизвестных обобщённых координат, рассматриваемых как функции времени.

Для консервативных голономных систем уравнения Лагранжа имеют вид

,

где — функция Лагранжа.

Дата добавления: 2013-12-12