Свободное движение твердого тела

Случай Ковалевской

Случай Лагранжа

Случай Эйлера

Условия интегрируемости уравнений движения

Для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, в трех случаях существует система дифференциальных уравнений, из которых углы Эйлера определяются в квадратурах, т. е. путем вычисления интегралов. Эти частные случаи называют условиями интегрируемости.

Тело имеет произвольную форму, но закреплено в его центре масс, т. е. . Углы Эйлера выражаются в этом случае через специальные эллиптические функции.

Тело имеет ось симметрии, например. В силу симметрии и эллипсоид инерции для закрепленной точки будет эллипсоидом вращения. Закрепленная точка и центр масс расположены на оси симметрии. В этом случае могут быть указаны шесть независимых первых интегралов, из которых углы Эйлера вычисляются в квадратурах.

В этом случае. Закрепленная точка располагается на оси симметрии, а центр масс находится в экваториальной плоскости эллипсоида инерции для неподвижной точки тела.

Свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы. Движение этого тела можно разложить на переносное поступательное вместе с полюсом, в качестве которого обычно выбирают центр масс, и относительное движение вокруг центра масс (рис. 3.7).

Рис. 3. 7 Свободное движение твердого тела.

Для составления дифференциальных уравнений свободного движения применим теорему о движения центра масс

и теорему об изменении кинетического момента в относительном движении по отношению к центру масс

.

Совмещая оси подвижной системы координат с главными осями инерции и записывая данные теоремы в проекциях на оси подвижной и неподвижной системы, получим шесть дифференциальных уравнений движения свободного твердого тела:

Дата добавления: 2013-12-12