Скорость точки в прямоугольной декартовой системе координат

Или

Переходя к пределу в (11.12), получим скорость в данной точке или в данный момент времени

Направление вектора v указано на рис. 37.

Перейдем к рассмотрению неравномерного криволинейного дви­жения точки.

Пусть точка М произвольно движется по некоторой кривой. Пусть в момент t точка занимает положение М, а через весьма малый промежуток времени Δt она занимает положение М₁. Положение точки М определяется радиусом-вектором г, а положение точки М₁ — ради­усом-вектором г+Δг, равномерное прямолинейное движение точки из М в М^ можно охарактеризовать скоростью, равной отношению Δг к Δt, называемой средней скоростью:

υ_CP=.

Вектор υ_CP совпадает с направлением вектора Δг.

υ=,

υ=r

Здесь и далее производные по времени обозначаются по Ньюто­ну, например, г и т. д.

Следовательно, скорость в данной точке равна первой производ­ной по времени от радиуса-вектора точки.

Так как секущая в пределе переходит в касательную, то ско­рость в данной точке направлена по касательной к траектории в сторону возрастания дуг.

Если движение точки задано координатным способом: х = х (t), у = у (t), z=z (t), то скорость точки определяется по ее проекциям на оси координат. Действительно, разложим вектор скорости и радиус-вектор г по ортам координатных осей (рис. 38). Получим

г = iх + jу + kz,

υ=iυ_X+jυ_Y+kυ_Z,

где х, y, z — координаты движущейся точки, υ _х, υ _y, υ_z — проекции скорости на оси координат. По определению скорости имеем

υ=r

Подставляя в эту формулу значения υ и г из (11.14), получим

iυ_X+jυ_Y+kυ_Z= iх + jу + kz,

Дата добавления: 2013-12-12