Для самостоятельного изучения

Где

ГЛАВА 4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ.

Задание для самоконтроля знаний.

1. Определить работу и мощность силы тяжести тела массой 1 кг на всем пути его движения, если оно было брошено вертикально вверх со скоростью 10 м/с.
2. Определить кинетическую энергию и импульс Земли движущуюся по орбите вокруг Солнца.
3. Определить потенциальную энергию взаимодействия Земли и Луны.
4. Определить модуль и направление силы действующую на тело в гравитационном поле Земли, если его потенциальная энергия уменьшается на 10 Дж при каждом миллиметре его пути.
5. Определить работу силы натяжения ремня Т=100Н при вращении вала R=0,2 м, если он в момент времени t=1cот начала движения имеет угловую скорость
6. Определить массу движущегося по горизонтальной поверхности диска R=0,2 м, если при угловой скорости ω = 2 рад/с он имеет полную энергию 100 Дж.
7. Определить энергию затухающих колебаний с β=2 в момент времени t=1мин., когда его амплитуда была 10см при коэффициенте к=100 Н/м.
8. Определить добротность колебательной системы, если она имеет коэффициент затухания 2с^-1, и частоту свободных колебаний π рад/с.

Лекция 6

4.1 Закон сохранения импульса

Тело массой m движущееся со скоростью имеет импульс

.

Согласно второму закону Ньютона

,

где - равнодействующая сила.

Если =0, то , что возможно только при . Следовательно, импульс тела остаётся постоянным, если на него не действуют силы или их равнодействующая рана нулю.

Рассмотрим взаимодействие двух тел, составляющих замкнутую систему (рис 4.1). Замкнутой системой называется такая система тел, в которой действует только внутренние силы f взаимодействия между телами. Для каждого тела этой системы импульс сил взаимодействия

(4.1)

где – внутренние силы, действующие на первое и второе тело со стороны второго и первого тела соответственно; - массы и скорости взаимодействующих тел.

Из третьего закона Ньютона следует, что

.

Тогда сумма импульсов сил действующих на тело

(4.2)

При механическом взаимодействии тел в замкнутой системе изменения их импульсов попарно равны по величине и противоположны по направлению. Изменение суммарного импульса системы . Последнее равенство возможно, когда . Импульс замкнутой системы тел не изменяется с течением времени и называется законом сохранения импульса. Из закона сохранения импульса следует, что в замкнутой системе, состоящей из n тел, их векторные суммы импульсов до и после взаимодействия равны:

(4.3)

где – скорость i тела до и после взаимодействия.

Для двух тел, при взаимодействии которых внешние силы отсутствуют или они скомпенсированы, закон сохранения импульса запишем в виде

. (4.4)

Для замкнутой системы из n тел импульс остается постоянной. Следовательно, остается постоянной и скорость центра инерции. В этом случае, центр инерции либо остается неподвижным, либо движется равномерно и прямолинейно относительно некоторой инерциальной системы отчета.

4.2 Закон сохранения момента импульса

Вращательное движение отдельного тела определятся уравнениями

, ,

где - момент импульса тела в плоскости относительно некоторой точки О через которую проходит ось вращения Z(рис 4.2).

Модуль момента импульса материальной точки.

.

Учитывая, что , а - есть радиус вектор, соединяющий точку О с центром инерции тела, то можно записать

где - плечо вектора относительно точки О.

Вектор направлен вдоль оси Z и совпадает с поступательным движением правого винта (буравчика), если он вращается от вектора к по кратчайшему пути.

Закон сохранения момента импульса отдельного тела определяется из соотношения

.

Если .

Если результирующий момент M всех внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса тела остаётся постоянным.

Рассмотрим систему из двух материальных точек вращающихсяв плоскости S вокруг оси проходящей через точку О взаимодействующих между собой и с внешними телами (рис 4.3)

.

В произвольный момент времени t моменты импульсов этих тел , .

Изменение момента импульса каждого из тел обусловлено действием как внутренних, так и внешних моментов сил .

где , ,.

Изменение момента импульса системы тел

+= (4.5)

При составлении равенства (4.5) учтено, что и .

Так как и векторное произведение двух параллельных векторов , то , и

(4.6)

Рассмотрим два случая:

1)если суммарный момент внешних сил =0 (система замкнутая) 0, =const.

2)если система не является замкнутой, то =

где -суммарный момент всех внешних сил, действующих на систему.

В замкнутой системе геометрическая сумма моментов импульсов тел всегда остается постоянной

, (4.7)

где- угловая скорость вращения i-го тела системы в момент времени t.

4.3 Закон сохранения энергии

Движущаяся система тел обладает кинетической энергией. Изменение кинетической энергии может быть обусловлено работой как консервативных F_конс, так и неконсервативных сил F_неконс:

dE_к = A_конс + А_неконс.

Работа, совершаемая консервативными и не консервативными силами

A_конс = – dE_п,

А_неконс= dE_к + dE_п= d(E_к + E_п). (4.8)

Изменение полной механической энергии обусловлено работой только неконсервативных сил.

Если на систему действуют только консервативные силы, то А_неконс=0 а полная механическая энергия остаётся постоянной (dE=0, E=const).

В замкнутой консервативной системе, в которой взаимодействие с внешними телами отсутствует, могут происходить лишь взаимные превращения кинетической и потенциальной энергии. При этом убыль кинетической энергии всегда равна приращению потенциальной и наоборот.

Если внутри замкнутой системы действуют неконсервативные силы, например силы трения, то механическая энергия такой системы уменьшается, превращаясь в другие, немеханические виды энергии. Мерой этого превращения является работа, совершаемая неконсервативными силами.

Если система не замкнута и не консервативна, то изменение полной механической энергии при ее переходе из одного механического состояния в другое равно алгебраической сумме работ всех внешних и внутренних неконсервативных сил, действующих на систему в процессе этого перехода.

4.4.1. Применение законов сохранения к упругому и неупругому соударению двух тел.

При соударении тела деформируются. При этом кинетическая энергия, которой обладали тела перед ударом, частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации и во внутреннюю энергию тел.

Столкновения могут быть упругими и неупругими. Их предельные идеализированные случаи – абсолютно упругий и абсолютно неупругий удар.

При абсолютно упругом ударе (например, столкновении шаров из слоновой кости или закаленной стали) механическая энергия тел не переходит в другие, немеханические, виды энергии. При таком ударе кинетическая энергия тел полностью или частично переходит в потенциальную энергию упругой деформации. По завершении удара первоначальная форма тел полностью восстанавливается. В итоге потенциальная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую энергию и тела разлетаются со скоростями, величина и направление которых определяются законом сохранения механической энергии и законом сохранения полного импульса системы тел.

Пpи неупругом ударе (например столкновении шаров из воска, двух разноименных ионов с образованием молекулы, захвате свободного электрона положительным ионом и т.д.) тела не восстанавливают свою первоначальную форму, кинетическая энергия тел частично или полностью превращается во внутреннюю энергию. При абсолютно неупругом ударе тела движутся после удара как единое целое с одинаковой скоростью или покоятся. При абсолютно неупругом ударе закон сохранения механической энергии не соблюдается. Выполняется лишь закон сохранения импульса и закон сохранения суммарной энергии различных видов – механической и внутренней.

Рассмотрим случай центрального соударения двух однородных шаров. Удар называется центральным, если шары до удара движутся вдоль прямой, соединяющей их центры (рис 4.12).

Поскольку удар упругий, то механическая энергия не переходит в другие виды энергии а кинетическая энергия сохраняется:

, (4.9)

где , , , – скорости шаров до и после удара.

Потенциальная энергия при упругом столкновении шаров не меняется закон сохранения импульса:

, (4.10)

Уравнения (4.9) следует:

,

=

. (4.11)

Из уравнения (4.10) с учетом проекции скоростей на ось Х:

. (4.12)

Поделив левые и правые части уравнении (4.11) (4.12), получим:

(4.13)

Подставим (4.13) в (4.12):

,

.

. (4.14)

По аналогии, подставим в формулу (4.13) полученное значение для :

. (4.15)

Рассмотрим частные случаи.

1) Массы шаров равны .

Дата добавления: 2013-12-11