Метод математической индукции. Неравенство Я. Бернулли

Напомним известную забаву. Кости домино выставляются таким образом, что каждая из них падая, опрокинет следующую кость. Если толкнуть первую, то одна за другой упадут все кости. Принцип математической индукции формулируется сходным образом. Рассмотрим применение метода математической индукции (ММИ) на примере.

Пример 1. Сумма членов арифметической прогрессии равна .
Рассмотрим похожую сумму . Доказать равенство
(утверждение ).

Решение. Утверждение истинно, т.к. при Л.ч.=П.ч.=1.

Докажем, что . Если , то.=, т.е.

Таким образом, .

Формулировка принципа математической индукции:

Пусть 1) − база индукции; 2) − шаг индукции. Тогда .

Упражнение. Доказать, что .

Пример 2. Доказать неравенство Бернулли: если , то (утверждение ).

Доказательство. 1) , т.к. при Л.ч.=Пр.ч.=1+ x

2) Пусть , т.е. при . Домножим обе части этого неравенства на величину . Т.к. , то мы получим .

Таким образом, , т.е. истинно.

Мы доказали, что 1) и 2) . В соответствии с принципом математической индукции . Ч. и т.д.

Замечание. Из приведенного доказательства следует также, что, если , в неравенстве Бернулли знак “” можно заменить знаком “”.

Дата добавления: 2013-12-13