Второй замечательный предел. Следствия

Первый замечательный предел. Следствия.

Теорема. (Первый замечательный предел. ) При радианном измерении углов

.

Доказательство. Пусть сначала . Сравним площади треугольников OCB, OCD и

кругового сектора OCMB (см. Рис.). Мы видим, что . Заменяя площади их значениями, получим . Отсюда легко вывести, что , а так как , то .

Из теоремы о двусторонней оценке следует, что . Так как − четная функция, то . В итоге получаем требуемое утверждение: .

Следствие 1. Первый замечательный предел можно записать в форме эквивалентности: . (Это − табличная эквивалентность 1.)

Следствие 2. Из полученной эквивалентности легко выводятся табличные эквивалентности 2. − 5.

Теорема. (Второй замечательный предел.)

.

(Напомним, “” мы обозначили чуть раньше предел .)

Доказательство. Мы предположим сначала, что . Если обозначить (обозначает целую часть числа ), то будет и .

Это приводит к двусторонней оценке:

.

Так как крайние члены последнего неравенства , стремятся к числу , то .

Пусть теперь и пусть . В таком случае и =

. будет и . Следовательно, .

Мы видим, что оба односторонних предела равны , то

.

Следствие 1. Имеет место эквивалентность , когда , .

Доказательство. Логарифмируя доказанное только что соотношение по основанию , получим . Позже будет доказана возможность поменять местами операции и (свойство непрерывности логарифмической функции). Воспользовавшись этой возможностью, получим , т.е. С.

Следствие 2.. Имеет место эквивалентность .

Доказательство. По предыдущему . Если , то . Поэтому и .

Следствие 3.. Имеет место эквивалентность .

Доказательство. Можно считать, что . Поэтому будет и .

Дата добавления: 2013-12-13