Теорема.Существует конечный предел последовательности

Существование предела. Число. Натуральные логарифмы.

Доказательство. Обозначим , . Докажем, что образуют последовательность вложенных стягивающихся отрезков.

1) Очевидно, что .

2) Докажем, что . Это неравенство означает, что или . Но согласно неравенству Бернулли.

3) Докажем, что . Это неравенство означает, что , т.е. или . Но согласно неравенству Бернулли.

Из пунктов 1),2) и 3) следует, что , т.е. .

4) при .

Поэтому из теоремы о вложенных отрезках следует, что существует . Ч. и т.д.

Принято этот предел обозначать . Вычисления показывают, что . Отметим, что логарифмы при основании e называют натуральными логарифмами. Для них обычно используют обозначение вместо того, чтобы писать .

Следствие. Из приведенного рассуждения следует также, что при натуральных значениях справедливы неравенства

и, следовательно, неравенства

.

Дата добавления: 2013-12-13