Колебаний

Сложение взаимноперпендикулярных гармонических

Точка одновременно участвует в двух колебаниях

х = А ₁cos(j ₀₁ + w ₁ t),

y = А ₂cos(j ₀₂ + w ₂ t).

Рассмотрим несколько частных случаев

а) w ₁ = w ₂ = w.

= cos j ₀₁ cos wt – sin j ₀₁ sin wt,

= cos j ₀₂ cos wt – sin j ₀₂ sin wt,

Умножим первое уравнение на cos j ₀₂, второе – на cos j ₀₁ и вычтем второе уравнение из первого:

cos j ₀₂ – cos j ₀₁ = sin wt sin(j ₀₂ – j ₀₁).

Умножим исходные уравнения на sin j ₀₂ и на sin j ₀₁ соответственно и вычтем второе уравнение из первого:

sin j ₀₂ – sin j ₀₁ = cos wt sin(j ₀₂ – j ₀₁).

Возведем полученные уравнение в квадрат и сложим их:

+ – cos (j ₀₂ – j ₀₁) =

= sin² (j ₀₂ – j ₀₁).

Полученное уравнение является уравнением эллипса, оси которого повернуты относительно координатных осей x и y.

б) w ₁ = w ₂, j ₀₁ = j ₀₂.

Тогда

или y = x.

Траектория представляет прямую линию – диагональ прямоугольника со сторонами 2 А ₁ (по оси х) и 2 А ₂ (по оси у)

в) w ₁ = w ₂, j ₀₂ = j ₀₁ + p.

Тогда

или y = x.

Траектория представляет другую диагональ прямоугольника

г) w ₁ = w ₂, j ₀₂ = j ₀₁ + .

Тогда = cos(j ₀₁ + w ₁ t),

= cos(j ₀₂ + w ₂ t).= sin(j ₀₁ + w ₁ t),

+ = cos²(j ₀₁ + w ₁ t) + sin²(j ₀₁ + w ₁ t) = 1.

Траектория представляет собой эллипс c направлением обхода по часовой стрелке. При А ₁ = А ₂ = А траектория превращается в окружность радиуса А.

д) w ₁ = w ₂, j ₀₂ = j ₀₁ – .

Траектория останется той же (г), но изменится направление обхода.

Таким образом, в случае равных частот суммарное колебание происходит в общем случае по эллипсу (прямые (б) и (в) следует рассматривать как вырожденный эллипс). Амплитуды складываемых колебаний определяют значение осей эллипса, а сдвиг фаз определяет вид эллипса и направление его обхода.

Более сложные кривые получаются при неравных частотах. В случае рационального отношения частот будут иметь место различные кривые, вид которых зависит от отношения частот и сдвига начальных фаз:

е) w ₂ = 2 w ₁, j ₀₂ = j ₀₁. ж) w ₂ = 2 w ₁, j ₀₂ = j ₀₁+ .

з) 3 w ₂ = 2 w ₁, j ₀₂ = j ₀₁. и) 4 w ₂ = 3 w ₁, j ₀₂ = j ₀₁.

Дата добавления: 2013-12-13