Затухающие колебания. В условиях, когда на тело действует только одна квазиупругая сила, оно будет совершать незатухающие гармонические колебания с постоянной амплитудой A = const

В условиях, когда на тело действует только одна квазиупругая сила, оно будет совершать незатухающие гармонические колебания с постоянной амплитудой A = const. На реально же движущиеся nела всегда будут воздействовать со стороны окружающей среды силы трения, препятствующие их движению. На преодоление сопротивления среды и т.п. будет затрачиваться энергия. Вследствие этого механическая энергия колеблющегося тела будет непрерывно уменьшаться, переходя в другие формы энергии и рассеиваясь в окружающую среду. С уменьшением энергии колебания будет уменьшаться его амплитуда, и колебание станет затухающим. Полная сила F, действующая на колеблющуюся точку, будет тогда суммой квазиупругой силы F _{кв–упр} и силы трения F _тр. При малых скоростях движения сопротивление обычно пропорционально первой степени скорости и направлено противоположно ей, т.е.

F _тр= – rv = – r,

где r — коэффициент трения, зависящий от свойств среды, формы и размеров движущегося тела.

На основании 2 закона Ньютона получим дифференциальное уравнение одномерного движения материальной точки массы m под действием квазиупругой силы и силы трения

m = – r – kx.

m + r+ kx. = 0.

Решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

x = A ₀ e^–at cos(wt + j ₀)

где a = – коэффициент затухания – физическая величина, обратная промежутку времени t (время релаксации), в течение которого амплитуда убывает в е раз;

w == – циклическая частота затухающих колебаний,

w ₀ – циклическая частота собственных колебаний точки при отсутствии трения.

Чем больше коэффициент трения r, тем больше величина α в показателе степени и тем быстрее амплитуда затухающих колебаний убывает со временем.

При наличии трения не только убывает со временем амплитуда колебания, но и уменьшается угловая частота колебаний.

С увеличением трения период колебаний возрастает, и при r = 2 m w ₀,т.е. a = w ₀ период становится бесконечным (Т = ∞). При дальнейшем увеличении a период Т становится мнимым, а движение точки – апериодическим.

Дата добавления: 2013-12-13