Лекция 8

Основной закон вращательного движения твердого тела.

Снова мысленно разобьем тело на малые элементы , которые можно считать материальными точками. Тогда для полного момента импульса и полного момента сил имеем (см. лекцию 7):

. (1)

Это уравнение называется основным законом вращательного движения в общем случае. При этом ось вращения может менять свое положение в пространстве и внутри тела.

Вращательное движение твердого тела вокруг фиксированной оси

Рассмотрим очень важный частный случай вращения твердого под действием внешних сил вокруг фиксированной оси. Направим ось системы координат вдоль этой оси. Разложим радиус-вектор - го элемента на векторы и , параллельный и перпендикулярный к оси вращения. Аналогичное разложение проведем для силы , действующей на - й элемент. Тогда момент импульса этого элемента можно представить в виде

,

где , .

Для осесимметричного тела и при вычислении полного момента импульса останется только проекция на ось вращения:

.

Проекция на ось момента силы, действующей на - й элемент, очевидно, выражается только через и :

,

где - угол между векторами , - плечо силы относительно оси.

Проекция полного момента силы на ось

.

В проекции на ось уравнение (1) имеет вид:

, где . Его можно переписать через угловое ускорение

Это основной закон вращательного движения для случая фиксированной оси.

Пример. Рассмотрим следующую задачу. Сплошной цилиндр радиуса и массы может вращаться вокруг оси, совпадающей с его осью симметрии. На цилиндр намотана невесомая нерастяжимая нить, к концу которой прикреплено тело массы . Нужно найти ускорение этого тела.

Для решения этой задачи запишем 2 – й закон Ньютона для тела в проекции на направление его движения и основной закон вращатель-ного движения для цилиндра:

, - сила натяжения нити,

.

Кроме этого используем связь между и : (лекция 2).

Решая эту систему уравнений и подставляя , находим .

Суммарный момент сил, действующих на тело в поле тяжести

На элемент действует момент силы тяжести

(ось направлена на нас)

.

Тогда проекция полного момента силы тяжести

, - полная масса

тела, - координата центра масс

тела. Значит при вычислении момента сил тяжести можно считать, что сила приложена к центру масс тела (центр тяжести).

Дата добавления: 2013-12-13