Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

ЛЕКЦИЯ 9





Помощь в написании учебных работ
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь

Общий случай вращательного движения твердого тела. Гироскопические явления.

 

Рассмотрим движение плоского твердого тела в его собственной плоскости . Выберем в нем две произвольные точки и . Так как тело является твердым, то при его движении

 

.

 

Продифференцируем это соотношение по времени

 

.

 

Пусть в данный момент времени . Тогда для всех точек имеем . Это означает, что скорости перпендикулярны соответствующим радиусам. Следовательно, можно говорить о вращении в данный момент времени вокруг оси, проходящей через точку .

Мгновенная ось вращения - прямая, проходящая через точки тела, скорости которых в данный момент времени равны нулю.

Например, для цилиндра, катящегося по плоскости, мгновенная ось вращения проходит через точки соприкосновения цилиндра с плоскостью (лекция 2).

Имеет место важная теорема, относящаяся к движению тела с одной неподвижной точкой. Мы приведем ее без доказательства.

 

Теорема Эйлера

Твердое тело, имеющее одну неподвижную точку, может быть переведено из произвольного положения в другое произвольное положение путем поворота вокруг некоторой оси, прохо-дящей через эту точку.

 

Произвольное движение твердого тела.

Его можно представить как совокупность поступательного движения всего тела со ско-ростью его некоторой точки (основная точка) и вращательного с угловой скоростью вокруг мгновенной оси, проходящей через эту точку. При этом угловая скорость не зависит от выбора основной точки .

Выберем в качестве основной точки центр масс тела. Пусть - скорость вращательного движения - го элемента тела относительно мгновенной оси. Тогда полную кинетическую энергию тела можно представить в виде

 

.

 

Последнее слагаемое в правой части равенства при суммировании дает нуль, так как ось проходит через центр масс. Тогда приходим к выражению (теорема Кёнига)

 

.

Получим одно важное соотношение между энергией вращательного движения и моментом импульса тела . Оно понадобится нам в дальнейшем. Можно легко убедиться в том, что скорость вращения и угловая скорость связаны соотношением . Тогда



 

.

 

Последнее из равенств доказывается в векторной алгебре. В этом случае для получим

 

.

В частном случае вращения осесимметричного тела вокруг его оси и .

 

Гироскоп – быстровращающееся осесимметричное тело, ось вращения которого может изменять свое направление в пространстве.

 

Движение гироскопа описывается основным законом вращательного движения в общем виде

 

.

 

При этом ось вращения и момент импульса не обяза-тельно совпадают с осью гироскопа. Рассмотрим движение гироскопа с одной неподвижной точкой (т. О на рис. 2). Тогда по теореме Эйлера в каждый момент времени происходит вращение вокруг мгновенной оси проходящей через т. О. Разложим вектора на составляющие вдоль оси гироскопа и перпендикуляр-ные к оси гироскопа (см. рис. 2). Физический смысл суммы векторов состоит в том, что при этом тело вращается вокруг собственной оси с угловой скоростью , а сама эта ось вращается вокруг оси перпендикулярной к собственной со скоростью .

Момент импульса гироскопа можно представить в виде

 

,

 

где - моменты инерции гироскопа относительно соответствующих осей. Тогда

 

.

 

Свободный гироскоп ().

В этом случае выполняются законы сохранения момента импульса и энергии

 

,

 

.

 

Отсюда следует, что при движении свободного гироскопа значения остаются постоянными. Это означает, что имеет место так называемая свободная регулярная прецессия: в каждый момент времени движение свободного гироскопа есть вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через неподвижную точку опоры; направление вектора неизменно в пространстве, а ось гироскопа и мгновенная ось вращения вращаются вокруг с постоянной угловой скоростью .

 

Вынужденная прецессия гироскопа

 

При кратковременном воздействии на гироскоп мало по сравнению с в силу большой угловой скорости вращения вокруг собственной оси. То есть имеет место устойчи-вость движения свободного гироскопа. Это находит применение в многочисленных приложениях (автопилоты, гирокомпасы, движение мотоциклов и велосипедов и т. д.).

Совсем по-другому ведет себя несвободный гироскоп, находящийся под действием постоян-ной силы.

Рассмотрим движение гироскопа с одной неподвижной точкой в поле тяжести (рис. 3).

Будем считать, что (приближенная теория гироскопа). В этом случае момент импульса гироскопа направлен вдоль его оси и равен . Основной закон вращательного движения имеет вид:

 

. С другой стороны можно считать, что

 

является “скоростью движения” конца вектора . Тогда по аналогии с формулой можно записать, что

 

. Отсюда или . Отсюда находим

 

.

 

Ось гироскопа в этом случае описывает конус, совершая вращение с угловой скоростью .

Такое движение называется вынужденной прецессией гироскопа под действием внешней силы. Гироскопические явления играют важную роль в самых разнообразных физических системах, от механических до атомных.





Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 288; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.034 сек.