Формула Тейлора

Формула Тейлора осуществляет аппроксимацию функции в окрестности базовой точки полиномом -ой степени и в символической форме имеет вид

,

где - остаточный член.

Учитывая (9), её можно компактно записать в дифференциальной форме

Для формула Тейлора принимает вид

и с точностью до остаточного члена совпадает с линеаризирующей функцией (4). На практике часто ограничиваются вторыми производными в формуле Тейлора :

. (10)

Применение формулы Тейлора позволяет значительно повысить точность приближенных вычислений за счет сохранения требуемого числа её членов.

Пример3. Построить аппроксимирующий полином второй степени для функции в окрестности точки .

Решение:

Искомый полином представляет собой формулу Тейлора без остаточного члена при . Вычислим значение функции и её производных в базовой точке :

;

; ;

;

.

Т.к. , , Используя (10), запишем искомый полином

.

Лекция 8 (II сем.)

Дата добавления: 2014-01-04