Вычисление площади через криволинейный интеграл

Пример 1

Вычислить криволинейный интеграл . Где - верхняя половина эллипса пробегая по часовой стрелке.

Решение:

.

В случае криволинейного интеграла 1 рода имеем:

или

Пример 2

Вычислить , где - контур .

Решение:

Здесь уравнение

Поэтому будем иметь:

.

Пусть в правильная область ограничена кривой . Положим, что на область проинтегрируется в отрезок , причем снизу она ограничена кривой , а сверху - кривой . .

Тогда площадь равна:

Но ,

На основании свойства 1.

Следовательно, (5)

При этом кривая обходится в направлении против часовой стрелки.

Аналогично получаем, что (6)

Складывая почленно (5) и (6) и деля на 2, получаем еще одну формулу для вычисления :

Пример 3

Вычислить площадь эллипса

Решение:

.

Дата добавления: 2014-01-04