Доказательство леммы 2

Введем орты по следующим формулам:

, ,

где

.

Эти орты имеют общее начало в точке (см. рис. 3.1.3).

Рис. 3.1.3

Очевидно,

,

. (3.1.4)

Тройка векторов является правой, а векторы — единичные.

Разложим вектор , задающий положение любой
точки механической системы относительно точки , по векторам .

. (3.1.5)

Покажем, что на любых движениях механической системы остаются постоянными.

Умножим на скалярно. Получим, согласно
лемме 1,

.

Умножим :

(3.1.5)

на скалярно. Учитывая формулу (3.1.4)

, (3.1.4)

слева получим

.

Скалярные произведения , , согласно лемме 1, остаются постоянными. Поэтому .

Далее, из тождества

,

и из соотношения (3.1.5) следует

.

Отсюда заключаем, что

. (3.1.6)

Поскольку , и векторные функции , непрерывны по времени на любых движениях, то функция также непрерывна на любых движениях. А тогда из непрерывности и тождества (3.1.6) следует, что .

Так как — это расстояние от точки до плоскости , а характеризует ориентацию точки относительно плоскости , то этим доказали справедливость утверждения
леммы 2.

Дата добавления: 2014-01-04