Необходимые условия экстремума функции двух переменных

Теорема 39. Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю

Доказательство. Зафиксируем одну из переменных. Пусть, тогда получим функцию одной переменной, которая имеет экстремум при . По необходимому условию экстремума функции одной переменной ее производная в этой точке будет равна нулю . Аналогично можно показать, что и . Критические точки . Но только значение принадлежит отрезку . Находим значения функции в ней: .

На линии функция имеет вид . Критических точек не имеет, поэтому находим её значения в граничных точках и : .

Рассмотрим теперь оставшуюся граничную линию . На ней , . Сравнивая значения функции в найденных точках, видим, что наибольшее значение функции равно 322 и достигается оно в точке , наименьшее значение функции равно и достигается оно в точке .

Дата добавления: 2014-01-04