Точечные оценки параметров распределения генеральной совокупности

Определение 14.3. Выборочная характеристика, используемая в качестве приближенного значения неизвестной генеральной характеристики, называется ее точечной статистической оценкой.

«Точечная» означает, что оценка представляет собой число или точку на числовой оси. «Статистическая» означает, что оценка рассчитывается по результатам наблюдений, или, иначе, по собранной исследователем статистике. В дальнейшем слово «статистическая» будем опускать.

Обозначим через некоторую генеральную характеристику. Пусть ее числовое значение неизвестно, однако предложен некоторый алгоритм или формула вычисления точечной оценки этой характеристики по результатам , ,..., наблюдений величины . Обозначая этот алгоритм буквой , получаем

. (14.4)

Подставив в (14.4) вместо , ,..., конкретные результаты наблюдений, получим число, которое и принимают за приближенное значение неизвестной генеральной характеристики . Найти погрешность этого приближения нельзя, поскольку числовое значение характеристики неизвестно. Интерпретация оценки как случайной величины позволяет сформулировать свойства, которыми должна обладать оценка, чтобы ее можно было считать хорошим приближением к неизвестной генеральной характеристике. Это свойства состоятельности, несмещенности и эффективности.

Определение 14.4. Оценка генеральной характеристики называется состоятельной, если для любого выполняется равенство

. (14.5)

Равенство (14.5) означает, что при очень малом положительном числе , чем больше число наблюдений , тем больше вероятность в незначительном по абсолютной величине отклонении оценки от неизвестной характеристики .

Определение 14.5. Оценка генеральной характеристики называется несмещенной, если для любого фиксированного числа наблюдений , математическое ожидание оценки равно неизвестной характеристике, т.е. выполняется равенство

. (14.6)

Равенство (14.6) означает: если оценка несмещенная, то при любом фиксированном среднее из значений оценки, вычисленное для всевозможных выборок объема , совпадает с точным значением генеральной характеристики .

Определение 14.6. Несмещенная оценка характеристики называется несмещенной эффективной, если она среди всех прочих несмещенных оценок той же характеристики обладает наименьшей дисперсией.

Пример 14.1. С редняя выборочная - состоятельная, несмещенная, эффективная оценка средней генеральной .

Пример 14.2. Дисперсия - состоятельная оценка генеральной дисперсии, однако, согласно формуле (14.3) – это смещенная оценка. Чтобы получить несмещенную оценку умножим (14.3) на

, .

Таким образом, исправленная статистическая дисперсия выборки является несмещенной оценкой генеральной дисперсии.

Дата добавления: 2014-01-04