Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Решение однородных систем линейных уравнений




Мы рассматривали задание подпространств в L в виде линейных оболочек систем векторов. Рассмотрим второй способ задания подпространств. Пусть е = {e1,…,еn} – базис пространства L, a 1 ,…,a п фиксированные элементы из P.

Утверждение. Подмножество

L1 = {x = x1e1+…+ xnеn Î L |a 1 x 1 +…+a n x n = 0} является подпространством в L.

Доказательство. I. Пусть x = x1e1+…+ xnеn, у = у1e1+…+ + уnеn Î L1 Þ a1x1 +…+anxn = 0, a1у1 +…+anуn = 0 Þ a1(x11)+…+an(xпп)=0, a1ax1+…+anaxn=0 Þ х+у, axÎL1.

II. 2. Очевидно, 0L= 0e1+…+ 0еnÎ L1, так как a10 +…+an0= 0.

ÿ

Упражнение. Доказать, что не является подпространством в L подмножество {x= x1e1+…+xnеnÎL |a1x1+…+anxn=1}.

Пусть Li={x=x1e1+…+xnеnÎL|ai1x1+…+ainxn=0}, i =1,…,m. Тогда подпространство ∩Li задается однородной системой линейных уравнений

. (7.1)

Это второй способ задания подпространств в L.

Пусть L= Pn. Тогда множество решений системы (7.1) является подпространством в P п. Найдем базис и размерность этого подпространства. С помощью элементарных преобразований приведем систему (7.1) к ступенчатому виду. Для простоты будем считать, что x1,…, xr главные неизвестные, а xr+1,…, xт свободные неизвестные, то есть матрица системы имеет следующий ступенчатый вид:

. (7.2)

Будем придавать набору (п – r) свободных неизвестных значения (1,0,0,...,0,0), (0,1,0,…,0,0),…,(0,0,0,…,1,0), (0,0,0,…,0,1). После этого главные неизвестные находятся однозначно, и мы получим набор из (п – r) частных решений однородной СЛУ f1 = (*,*,…,*,1,0,0,...,0,0), f2 = (*,*,…,*,0,1,0,...,0,0),…, fn-r= (*,*,…,*,0,0,...,0,0,1), где звездочкой * обозначены какие-то значения главных неизвестных. Покажем, что f1, f2 ,…,fn-r - базис в пространстве решений СЛУ (7.1). Во-первых, строки f1, f2,…,fn-r – линейно независимы. Это доказывается так же, как линейная независимость строк матрицы из 7.4. Во-вторых, любое решение СЛУ (7.1) является линейной комбинацией решений f1, f2 ,…, fn-r. В самом деле, если решение системы f = (с1,…,сr+1,..., сn), то линейная комбинация решений f0 = f - сr+1 f1 -... - сn fn-r принадлежит пространству решений, причем f0 = (*,…,*,0,…,0), то есть у f0 все свободные неизвестные равны нулю. Тогда, решая СЛУ (7.2), получим, что все главные неизвестные у f0 также равны нулю, то есть f0 = 0, f - сr+1 f1 -...- сn fn-r = 0 Þ f = сr+1 f1 +...+сn fn-r. Таким образом, f1, f2 ,…,fn-r - базис в пространстве решений СЛУ (7.1), и размерность пространства решений равна (п – r).

Определение. Базис в пространстве решений однородной системы линейных уравнений называется фундаментальной системой решений (сокращенно ФСР).

Так как базисы в пространствах выбираются неоднозначно, то и ФСР выбираются неоднозначно. Мы показали, что f1, f2 ,…,fn-r – ФСР для СЛУ (7.1). Любое линейно независимое семейство из (п – r) решений также является фундаментальной системой решений.

 

Лекция 16.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 422; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.01 сек.