Теорема 2. Навколо будь-якої правильної піраміди можна описати сферу і в будь-яку правильну піраміду можна вписати сферу

Теорема 1. Для того щоб навколо піраміди можна було описати сферу, необхідно і достатньо, щоб навколо многокутника, що лежить в її основі, можна було описати коло.

Об’єм довільної піраміди

де — площа основи, Н — висота.

Сфера називається описаною навколо многогранника, якщо вона проходить через усі його вершини. Сфера називається вписаною у многогранник, якщо вона дотикається до всіх його граней.

Центр сфери, описаної навколо піраміди, можна знайти за допомогою таких двох тверджень.

1. Множина точок простору, рівновіддалених від двох даних точок А і В, є площина, що проходить через середину відрізка АВ і перпендикулярна до нього.

2. Нехай точка О — центр кола, описаного навколо плоского многокутника А ₁ A ₂ A ₃... А_n. Тоді множина точок простору, рівновіддалених від усіх вершин многокутника А ₁ A ₂ A ₃… А_n, являє собою перпендикуляр до площини многокутника, що проходить через точку О.

Наслідок. Якщо навколо многокутника, який лежить в основі піраміди SА ₁ A ₂... А_n, можна описати коло, центром якого є точка О, то центр описаної навколо піраміди сфери міститься на перетині перпендикуляра до площини основи, поставленого з точки О, і площини, яка проходить через середину одного з бічних ребер піраміди (наприклад, A ₁ S) і перпендикулярна до цього ребра.

Центр уписаної у многогранник сфери лежить на перетині бісекторних площин усіх двогранних кутів многогранника.

Дата добавления: 2014-01-04