Теоретическая механика. Статика

Лекция 1.

План занятия:

1. Содержание статики. Аксиомы статики

2. Сходящиеся силы

3. Сложение параллельных сил. Пара сил

Абсолютно твердым телом называется такое тело, у которого расстояние между каждыми двумя точками остается всегда неизменным. Под действием смежных тел (во многих случаях и без непосредственного соприкосновения) твердое тело может изменять свое движение, а именно: направление и скорость движения. Тело, не испытывающее действия других тел, может или находиться в покое, или двигаться прямолинейно и равномерно. Изменение этих двух состояний может произойти только под действием на тело других материальных тел; действие это называется силой.

Статика — раздел теоретической механики, который изучает свойства сил, условия их совместного действия на тело и их равновесие, т. е. уничтожение противоположных действий.

Сила — одно из основных понятий механики. Силой называется такое взаимодействие одного тела с другим, в результате которого изменяются кинематические свойства этих тел, т. е. тело может перейти из состояния покоя в движение или из одного вида движения в другой. Бывают случаи, когда изменение движения тела невозможно. Тогда действие силы сводится к деформированию тела, т. е. к изменению его формы и размеров.

Отрезок прямой, взятый в определенном масштабе и имеющий направление, указанное стрелкой на его конце, представляет собой векторную величину и называется вектором. Величина численного значения вектора называется его модулем. Модуль вектора соответствует длине отрезка.

Любая сила может быть представлена вектором, выражающим численное значение силы и ее направление.

Силу можно представить в виде отрезка АВ, помноженного на соответствующий масштаб:

• (1)

где Р — сила в Н;

АВ — отрезок в мм;

— масштаб силы.

Если на тело действуют одновременно несколько сил: , , , , то такая совокупность сил называется системой сил.

Изучение статики опирается на несколько простых истин, которые принимают без доказательств, как аксиомы.

Аксиома 1. Равные силы, приложенные к твердому телу, взаимно уравновешиваются, если они действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны (рис. 1). Никакого перемещения эти силы произвести не могут.

Аксиома 2. Действие системы сил на твердое тело не изменится, если прибавить к этой системе сил или от нее отнять две взаимно уравновешивающиеся силы.

Из двух рассмотренных аксиом следует, что силу, действующую на твердое тело, можно переносить по линии ее действия из одной точки в другую, не нарушая состояния тела. Доказательство. Пусть на тело в точке А действует сила Р (рис. 2). Возьмем на линии действия силы Р произвольную точку В и приложим к ней две равные и противоположно направленные силы и , равные силе Р.

Согласно аксиоме 2 силы Р и взаимно уравновешиваются и их можно отбросить. Остается сила , которая будет производить на тело то же действие, что и сила Р. Отсюда можно сделать вывод, что точку приложения силы, действующей на твердое тело, можно переносить по линии действия силы в любую другую точку, расположенную на этой линии.

Если существует одна сила, эквивалентная (равнозначная) системе сил, то такая сила называется равнодействующей.

Аксиома 3. Две силы, действующие на твердое тело в одной точке (рис. 3), можно заменить одной (равнодействующей) силой, приложенной к той же точке. Вектор R этой равнодействующей силы является диагональю параллелограмма, построенного на векторах и составляющих сил.

Аксиома 3 выражает правило параллелограмма сил.

Аксиома 4. Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.

Этот важнейший закон впервые был сформулирован Ньютоном и назван им законом равенства действия и противодействия.

Рис. 1.2 Рис. 1.3

Всякая сила есть действие одного тела на другое. Следовательно, если два тела взаимодействуют, то сила действия первого тела на второе равна и противоположна силе противодействия второго тела на первое.

Всякое твердое тело в пространстве может находиться в свободном или несвободном состоянии. Если твердое тело способно перемещаться в любом направлении, то такое тело называется свободным. Если твердое тело встречает на своем пути препятствия, ограничивающие его движение, то такое тело называется несвободным.

Условия, которые препятствуют свободному перемещению тела, называются связями.

Между рассматриваемым телом и связью (другим телом) на основании закона равенства действия и противодействия возникает сила противодействия связи телу. Эта сила носит название реакции связи. Реакция связи направлена в сторону, противоположную силе действия тела на связь.

Если к твердому телу приложена система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, то такая система называется системой сходящихся сил.

Всякую систему сходящихся сил можно заменить системой сил, приложенных в одной точке.

Для определения равнодействующей в некоторых случаях удобнее пользоваться правилом треугольника сил. Треугольник ABC, составленный из векторов сил , и R (рис. 4, б) и

Рис. 1.4

равный половине параллелограмма (рис. 4,а), называется треугольником сил.

Разложить одну силу на две составляющие или заменить одну силу двумя пересекающимися силами можно только при следующих дополнительных условиях:

1) Когда две составляющие силы известны по направлению (в этом случае определяется их величина);

2) Когда две составляющие силы известны по величине (тогда определяется их направление);

3) Когда даны равнодействующая R и составляющая по величине и направлению (тогда легко определяется величина и направление второй составляющей );

4) Когда даны равнодействующая R, величина одной составляющей, например, и направление другой .

Силу на плоскости можно определить аналитически, если известны проекции этой силы на две непараллельные оси. При решении подобных задач берут две взаимно перпендикулярные оси Ox и Oy (рис. 5).

На этих осях проекции силы отложены в виде отрезков: b – на оси Ox и – на оси Oy. Чтобы определить силу по ее проекциям, надо восставить перпендикуляры к осям координатах Ox и Oy из точек , начало проекций и из точек , конца проекций. Пересечения пер­пендикуляров в точках А и В ука­зывают начало и конец вектора искомой силы.

В дальнейшем проекцию силы па ось Ох будем обозначать че­рез X, а на ось Оу — через Y, так что ab = X и = Y.

Из прямоугольного треугольника ABC определяем:

(2)

По этой формуле определяют величину силы, если известны ее проекции.

Направление силы можно определить через углы α и β,образованные между силой Р и осями Ох и Оу. Углы α и β оп­ределяются по формулам:

(3)

Зная величину и направление силы Р, можно определить ее проекции на оси Ох и Оу. Так, например,

(4)

Равнодействующая двух параллельных сил, направленных в одну и ту же сторону, равна сумме этих сил и направлена в ту же сторону; точка приложения равнодействующей делит пря­мую, соединяющую точки приложения составляющих сил, на части, обратно пропорциональные этим силам.

Две параллельные силы направленные в противоположные стороны называются антипараллельными.

Равнодействующая двух неравных параллельных сил, направленных в противоположные стороны, равна их разности и направлена в сторону большей силы; ее точка приложения лежит на продолжении линии AB за большей силой и делит внешним образом расстояние между точками A и B на части, обратно пропорциональные составляющим силам.

Если твердое тело под действием сил и может вращаться вокруг неподвижной оси O, перпендикулярной к плоскости действия сил, то такое тело называется рычагом.

Условие равновесия рычага может быть выражено уравнением

или (5)

Парой сил, называются две рав­ные и параллельные силы, направленные в противоположные стороны.

Положим, что мы имеем две равные и параллельные силы Р и Р', направленные в противопо­ложные стороны. Проведем прямую, перпендикулярную к ли­ниям действия этих сил и пересекающую эти линии в точках А и В (рис. 6). Длину перпендикуляра АВ называют плечом пары.

Пара сил не имеет равнодействующей, так как Р=Р' и, сле­довательно, R = Р — Р' = О.

Таким образом, пару нельзя заменить одной силой и пару нельзя уравновесить одной силой.

Плос­кость, проходящая через обе силы пары, называется плоскостью действия пары.

Эквивалентными парами называются такие пары, которые лежат в одной плоскости и имеют численно равные моменты и одинаковое направление вращения.

1. Пару сил можно переносить в любое положение в ее плоскости, при этом действие ее на тело не ме­няется.

2. Не изменяя действия пары на тело, можно заме­нить эту пару другой, у ко­торой силы и плечо имеют иную величину, но момент и направление вращения ко­торой такие же, как и у пер­вой пары.

Если известны величина и направление вектора момента пары, то можно определить:

1) положение плоскости действия пары, так как эта плоскость перпендикулярна к вектору момента (в его начале);

2)величину момента пары по формуле

3) направление вращения пары, которое легко найти, зная направление вектора момента и положение плоскости пары.

Момент равнодействующей пары равен алгебраической сумме моментов составляющих пар.

Если под действием нескольких пар твердое тело находится в покое, то такие пары взаимно уравновешиваются и не имеют равнодействующей пары. Отсюда следует, что при равновесии пар алгебраическая сумма их моментов равна нулю.

Дата добавления: 2014-01-04