Теоретическая механика. Статика. 3. Пространственная система сил

Лекция 2.

План занятия:

1. Плоская система сил

2. Плоские формы

3. Пространственная система сил

4. Центр тяжести

Перенос силы из одной точки в другую называют приведением силы к данной точке. Сила Р" назы­вается приведенной силой, а пара (Р'Р) присоединенной парой. Ее момент

Систему сил в плоскости можно привести к одной силе, приложенной в произвольно выбранной точке, Эта сила R называется главным вектором всей системы сил.

(1)

Кроме нее, получится одна пара, момент которой равен сум­ме моментов сил системы относительно центра приведения и который называется главным моментом данной системы сил от­носительно этого центра.

(2)

Чтобы привести систему сил в равновесие, необходимо:

(3)

Три уравнения равновесия системы сил, произвольно расположенных на плоскости:

(4)

(5)

(6)

Отсюда можно сделать следующее заключение: если твердое тело под действием плоской системы сил находится в равновесии, то:

1) Сумма проекций всех сил на ось x равна нулю (силы не перемещают тело вдоль оси x);

2) Сумма проекций всех сил на ось y равна нулю (силы не перемещают тело вдоль оси y);

3) Сумма моментов всех сил относительно любой точки равна нулю (тело не может вращаться).

Фермой называется жесткое сооружение, состоящее из прямолинейных стержней, соединенных между собой шарнирами. В такой конструкции стержни могут испытывать только растяжение или сжатие.

Места соединения жестких стержней или звеньев называют узлами.

Число шарниров в каждом стержне может быть различное, но не меньше двух.

Основные элементы фермы носят следующие названия:

1. Расстояние между опорами называется пролетом фермы.

2. Цепь звеньев, расположен­ных по внешнему контуру фермы, образует верхний пояс и нижний пояс.

3. Вертикальные стержни, со­единяющие верхний и нижний поясы, называются стойками, а наклонные стержни — раскосами.

Чтобы стержни фермы работали только на растяжение или сжатие, необходимо соблюсти следующие условия:

1) стержни в узлах должны соединяться шарнирами без тре­ния;

2) все силы, действующие на ферму, должны быть приложе­ны только в узлах фермы.

Когда к одной точке твердого тела при­ложено несколько сил, расположенных в различных плоскостях, то такая система сил называется пространственной си­стемой

При трех силах, сходящихся в одной точке и действую­щих в разных плоскостях, равнодействующая их выра­жается диагональю параллелепипеда, построенного на этих силах.

1) Проекция силы P на ось x:

2) Проекция силы P на ось y:

3) Проекция силы P на ось z:

Тогда величина силы P определится по формуле

(7)

авление силы P определится из равенств:

(8)

Моментом силы относительно оси называется момент проек­ции этой силы на плоскость, перпендикулярную к оси, относи­тельно точки пересечения оси с плоскостью.

Момент силы относительно оси может быть равен нулю в двух случаях:

1) когда сила Р параллельна оси (в этом случае = 0);

2) когда линия действия силы Р пересекает ось (в этом случае h = 0).

Равновесие твердого тела, находящегося под действием сил, произвольно расположенных в пространстве, возможно, ес­ли удовлетворяются следующие шесть уравнений:

(9)

(10)

Равнодействующая сила тяжести всех частиц тела называет­ся весом тела.

Эта равнодействующая приложена в центре всей системы па­раллельных сил, который называется центром тяжести.

Пусть даны три параллельные силы , , направленные в одну и ту же сторону и приложенные в точках (рис. 1).

Положение точки А₁ определяется координатами х₁,y₁, z₁, точки A₂ — координатами х₂,y₂,z₂, точки A₃ — координатами х₃,y₃,z₃, а положение центра С параллельных сил определяется координатами х_с, у_с, z_c.

Составив моменты всех сил относительно трех осей, напишем, что момент равнодействующей равен алгебраической сумме мо­ментов составляющих сил, т. е.

Rx_c = Р₁х₁ + Р₂х₂ + Р₃х₃;

Ry_c = Р₁y₁ + Р₂y₂ + Р₃y₃;

Rz_c = Р₁z₁ + Р₂z₂ + Р₃z₃;

Отсюда находим искомые координаты точки С приложения равнодействующей силы:

(11)

(12)

(13)

По этим формулам определяются координаты центра параллельных сил.

1. Центр тяжести прямолинейного однородного стержня АВ, имеющего постоянное сечение, находится на середине этого стержня.

2. Центр тяжести ломаной линии (рис. 2, а), состоящей из отрезков АВ и ВС, определяется следующим путем:

а) вначале отмечаем центры тяжести С₁ и С₂ в серединах отрезков АВ и ВС;

б) затем прикладываем в точках С₁ и С₂ веса G₁ и G₂ отрезков АВ и ВС, пропорциональные их длинам;

в) для определения общего центра тяжести ломаной линии ABC соединяем прямой точки С₁ и С ₂ и, пишем равенство моментов G₁• С₁С, нахо­дим на этой прямой центр С двух параллельных сил G₁ и G₂. Точка С и будет являться центром тяжести ломаной линии ABC, а,вес ее будет G = G₁ + G₂ и будет приложен в этой точке С.

3. Центр тяжести периметра треугольника ABC (рис. 2,б) расположен в центре круга, вписанного в треугольник С₁ C₂C₃, составленный из прямых С₁ C₂, С₂С₃ и С₃С₁ соединяющих точ­ки С₁, С ₂ и С ₃ центров тяжести сторон треугольника ABC.

4. Центр тяжести периметра параллелограмма расположен в точке пересечения его диагоналей.

5. Центр тяжести дуги окружности. Для определения положения центра тяжести дуги окружности (рис. 2, в) проводим из ее центра О линию симметрии ОМ, на которой и будет нахо­диться центр тяжести дуги АМВ. Расстояние от точки С центра тяжести дуги окружности до ее центра определяется по фор­муле

; (14)

где l — длина хорды АВ;

b—» дуги АМВ;

r— радиус окружности.

Для дуги, равной половине окружности,

Для четверти окружности

Для шестой части окружности

6. Определение центра тяжести ломаной линии ABCD(рис 2, г) производится с помощью формул:

(15)

(16)

аналогичных формулам (47) и (48).

Здесь — координаты центров тяжести отрезков .

1. Центр тяжести площади треугольника находится в точке пересечения его медиан. Если — координаты вершин треугольника, то координаты центра тяжести С могут быть определены по формулам:

(17)

Рис. 2.3

Доказательство. Разобьем площадь треугольника на узкие полоски линиями, параллельными его основанию. Считая приближенно такую полоску за прямую линию (это представле­ние будет тем точнее, чем уже полоска), утверждаем, что центр тяжести полоски лежит в ее середине. Геометрическое место се­редин всех таких полосок есть медиана треугольника. Разбивая площадь треугольника на полосы, параллельные другой его сто­роне, находим, что центр тяжести лежит и на второй медиане. Следовательно, он лежит в точке их пересечения.

2. Центр тяжести площади сложной фигуры.Пусть дана площадь OA'B'C'D'E'F'C'O(рис. 3), требуется определить ее центр тяжести. Разобьем фигуру на три прямоугольника — I, II и III, Центрытяжести которых расположены в точках С ₁, С ₂ и С ₃ пересечения диагоналей этих прямоугольников.

Обозначим координаты центра тяжести С ₁, С ₂ и С ₃ через ,тогда координаты центра тяжести всей площа­ди можно определить по формулам:

(18)

(19)

где S ₁, S ₂ и S ₃ – площади прямоугольников I, II и III.

Формулы для опрееления центра тяжести объема:

(20)

(21)

(22)

1) у призмы и цилиндра центр тяжести находится на сере­дине оси симметрии, проходящей через центры тяжести основа­ний этих фигур;

2) у пирамиды и конуса центр тяжести расположен на пря­мой линии, соединяющей вершину с центром тяжести основания, и удален от этого основания на 1/4 всей длины прямой линии.

Если твердое тело соприкасается с горизонтальной плоско­стью или с поверхностью в одной точке, то равновесие тела будет в том случае, когда центр тяжести его лежит на одной вертика­ли с точкой опоры.

В этом случае имеют место три вида равновесия:

1) устойчивое равновесие;

2) неустойчивое равновесие;
3) безразличное равновесие.

Дата добавления: 2014-01-04