Потенциальная энергия

Рассмотрим перемещение тела в поле силы тяжести по произвольной траектории (рис. 7.2). Определим работу силы тяжести как интеграл от скалярного произведения вектора силы тяжести на перемещение .

Как видно из рисунка, проекция элементарного вектора перемещения на направление силы тяжести равна уменьшению высоты тела над Землей . Тогда работа силы тяжести после взятия интеграла будет равна

. (7.10)

Работа в поле тяжести, оказывается, равна разности значений некоторого параметра, который не зависит от формы траектории. Этот интеграл движения называют потенциальной энергией

. (7.11)

Высота тела отсчитывается от некоторого, взятого произвольно, горизонтального уровня отсчета, так как при решении задач механики важно знать не абсолютное значение потенциальной энергии, а её изменение. Формула справедлива в области небольших, по сравнению с радиусом Земли, высот, пока ускорение свободного падения можно считать постоянным. Знак минус означает, что положительная работа совершается за счет уменьшения потенциальной энергии.

Получим формулу потенциальной энергии упругой деформации. В случае, когда тело деформируется под воздействием внешней силы, точка приложения силы перемещается и, значит, совершается работа. Если тело упругое и форма тела после выключения внешней силы восстанавливается, то работа упругих сил обращается в нуль. Значит, упруго деформированное тело обладает потенциальной энергией. Формулу для потенциальной энергии получим, определив работу сил упругости. Пусть выполняется закон Гука , где k– коэффициент упругости, х – деформация тела. Работа равна интегралу . Отсюда получим формулу потенциальной энергии упругой деформации

. (7.12)

Кроме поля тяжести работа сил поля не зависит от формы траектории и в других силовых полях. Например, в электростатическом поле, гравитационном поле. Такие поля называют потенциальными. При перемещении тела по замкнутой траектории, когда тело возвращается в исходную точку, работа в потенциальном поле равна нулю: . (Интеграл от силы по замкнутой траектории называется циркуляцией вектора силы).

Силы, работа которых не зависит от формы траектории, называют консервативными. В механике это силы тяжести, гравитационные силы, силы упругости.

Между силой и потенциальной энергией существует связь. Пусть тело перемещается вдоль линии действия силы на элементарное расстояние. Работа силы совершается за счет убыли потенциальной энергии: . Отсюда следует, что сила равна производной от потенциальной энергии по координате, направленной по линии действия силы, и взятой с обратным знаком

. (7.13)

Эта производная называется градиентом потенциальной энергии. То есть консервативная сила равна градиенту потенциальной энергии, взятому с обратным знаком .

Дата добавления: 2014-01-04