Соударение тел

Неупругий удар

Рассмотрим удар двух тел массами m ₁ и m ₂, скорости которых до удара V ₁ и V ₂ (рис. 8.1). Для неупругого удара можно применить только закон сохранения импульса, так как механическая энергия не сохраняется

. (8.1)

Откуда скорость совместного движения равна . Чтобы найти скорость шаров после удара, надо спроецировать уравнение (8.1) на выбранные оси координат и из уравнений определить проекции скорости U. Либо определить скорость U по векторной диаграмме, которая имеет вид треугольника, используя тригонометрические соотношения между сторонами треугольника.

Потери механической энергии при неупругом ударе превращаются во внутреннюю энергию тел, то есть в теплоту. Следовательно, теплоту можно определить как разность кинетических энергий до и после удара

. (8.2)

В технике явление неупругого удара применяют для двух целей. При ковке, штамповке деталей следует по возможности большую часть кинетической энергии молота массой m превратить в работу пластической деформации поковки. Для этого массу наковальни М делают как можно больше (рис. 8.2). Докажем это. По закону сохранения импульса для удара молота по наковальне определим скорость сотрясения наковальни U и затем энергию сотрясения . Тогда КПД тем больше, чем больше масса наковальни.

Наоборот, при забивании гвоздя молотком потери энергии на работу деформации должны меньше, а большая часть энергии молотка должна переходить в кинетическую энергию молотка с гвоздем после удара. Поэтому масса молотка должна быть больше массы гвоздя. Но так, чтобы гвоздь не согнулся.

Упругий удар

Для идеально упругого удара выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии. Рассмотрим идеально упругий центральный удар двух шаров, при котором скорости тел направлены по линии центров масс. Пусть начальные скорости направлены в одну сторону. Так как шары после удара отталкиваются друг от друга, то после удара они будут двигаться с неизвестными различными скоростями U ₁ и U ₂ по линии центров масс. Запишем закон сохранения импульса в проекции на направление движения первого шара и закон сохранения энергии

, (8.3)

. (8.4)

Имеем два уравнения с двумя неизвестными U ₁ и U ₂. Чтобы решение выполнить более просто, заменим уравнение с квадратами скоростей (8.4) третьим уравнением, которое получим, после преобразования уравнений (8.4) и (8.5).

, (8.5)

. (8.6)

После деления уравнений получим уравнение первой степени

. (8.7)

Решая совместно уравнения уже первого порядка (8.5) и (8.7), получим для скоростей тел после упругого удара формулы

, (8.8) . (8.9)

Рассмотрим частный случай, когда массы шаров равны: m ₁ = m ₂. Тогда скорости шаров после упругого удара будут равны . То есть, шары после удара обмениваются скоростями. А если второй шар до удара покоился, то после удара он будет двигаться со скоростью первого шара, а первый шар остановится.

При нецентральном ударе явление осложняется скольжением шаров в точке удара. Интересен случай упругого удара, при котором первый шар налетает на покоящийся второй шар равной массы, как в биллиарде. При ударе без трения энергия сохраняется. После сокращения на одинаковые массы уравнения законов сохранения импульса(8.3) и энергии (8.4) примут вид: и . Так как векторы первого уравнения образуют треугольник, то второе уравнение является теоремой Пифагора для этого треугольника. Следовательно, шары после удара разлетаются всегда под углом 90^о.

Дата добавления: 2014-01-04