Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Мощности. Счетные и континуальные множества




Функции

Вспомогательные положения

Множество ­– некоторый набор (совокупность) объектов.

Объекты, входящие в множество – его элементы.

 

 

(здесь – множество натуральных чисел).

Множество A, все элементы которого принадлежат множеству X, называется подмножеством множества X:

 

Если нужно написать, что элемент входит в множество, то пишут:

.

Не принадлежит:

;

.

Пустое множество обозначается следующим образом: ∅.

Пусть заданы множества A и B. Тогда суммой или объединением этих множеств будет:

– множество, состоящее из элементов, входящих или в A или в B или в оба.

 

Пересечением (произведением) множеств A и B называется множество, состоящее из элементов, входящих как в A, так и в B одновременно.

A
B
 

Разностью называется множество, состоящее из элементов, входящих в A, но не входящих в B:

A
B
A\B

Пусть. Тогда дополнением X в E называется множество X', состоящее из элементов, входящих в E, но не входящих в X:

.

Очевидно: X'' = X.

X

Справедливы следующие равенства:

;

.

Доказательство:

Пусть
. Тогда и.

 
A
B
E
x

Пусть заданы два множества: и.

Предположим, что каждому элементу из множества E по некоторому закону в соответствие ставится один и только один элемент из множества G.

Тогда называется функцией (отображением, оператором), определенной на множестве E со значениями в множестве G.

 

или

 

или

.

Например:, где:

E – действительные числа, G – действительные числа (неотрицательные числа).

.

Или обычная запись равенством:.

Если, то называется образом при отображении, а – прообразом при отображении.

Пусть. Тогда обозначим через множество, таких что:

 

Тогда:

– образ множества (оно состоит из образов элементов).

A – прообраз множества B при отображении f.

E
G
A
B
y=f(x)

Можно показать, что выполняются следующие равенство и включение:

;

.

E
A
B
G
f(A) (A)
F(B)

Отображение (функция) называется инъективной, если прообраз каждого элемента из (для которого прообраз существует) состоит из одного элемента (разные точки из имеют разные образы в).

Например, – не инъективна.

Множество множество значений функции.

Если, то отображение называется сюръективным.

Если отображение инъективно и сюръективно, то оно называется биективным.

В этом случае устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами и.

Если – биективное отображение, то для функции можно построить (легко видеть как) функцию, которая называется обратной функцией к функции.

E
G
x
y
f
f-1

Тогда получаем, что определена на множестве; её значения лежат в множестве и выполняются следующие равенства:

;

.

Сравнивая бесконечные множества, заметим, что существуют биекции этих множеств на их некоторую часть (на подмножество).

 

 

x
y

Оказывается, что справедлива следующая теорема Берштейна:

Пусть и – произвольное множество. Тогда:

1. Либо существует инъекция из в, либо существует инъекция из в (оба обстоятельства не исключают друг-друга).

Заметка: Если является инъекцией, то в множестве точек «больше», чем в множестве.

2. Если существует одновременно инъекция из в и инъекция из в, то существует биекция на.

Следствие:

Для заданных множеств и имеются только три возможности:

a. Существует инъекция из в и не существует инъекции из в.

Тогда говорят, что имеет мощность строго большую мощности (мощность строго меньше мщности).

b. Существует инъекция из в.

Тогда говорят, что множество имеет мощность строго большую, чем мощность множества (мощность строго меньше мощности).

c. Существует биекция на. В этом случае говорят, что множества и имеют одинаковую мощность (равномощны).

Класс всех множеств, равномощных данному множеству, называется мощностью этого множества или его кардинальным числом.

Счетное множество – множество, имеющее мощность множества целых натуральных чисел, т. е. множество является счетным, если можно установить взаимно однозначное соответствие <биекцию> между его элементами и элементами множества натуральных чисел.

Континуальные множества – множества, имеющие мощность множества действительных чисел.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 1903; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.018 сек.