Определитель ступенчатой матрицы

Пусть — определитель, полученный из определителя матрицы после вычеркивания строк и столбцов.

Определение 2.6.1. Определитель

называется минором порядка k.

Если, в свою очередь, из определителя матрицы A вычеркнуть строки и столбцы , то получаем определитель порядка , который называется дополнительным минором для минора и обозначается .

Определение 2.6.2. Алгебраическим дополнением минора называется величина , где .

Теорема 2.6.1 (теорема Лапласа). Определитель матрицы А равен сумме произведений всех миноров порядка k, составленных из k фиксированных строк указанного определителя, на алгебраические дополнения этих миноров.

Проиллюстрируем теорему Лапласа на примере определителя четвертого порядка.

.

Теорема Лапласа является обобщением формулы (2.5.2) разложения определителя матрицы А по элементам какой-либо строки (столбца).

Рассмотрим матрицу

,

называемую ступенчатой матрицей.

Теорема 2.6.2. Определитель ступенчатой матрицы равен произведению определителей матриц, стоящих на главной диагонали, т. е.

.

Доказательство. Зафиксируем в матрице первые k строк. Тогда все миноры порядка k, построенные на этих строках, равны нулю, за исключением возможно лишь минора, стоящего в левом верхнем углу, т. е. минора

,

причем дополнительный минор

.

Тогда в силу теоремы Лапласа

,

где — четное число, поэтому .

Дата добавления: 2014-01-05