Линейные пространства

Частично упорядоченные множества

Множество называется частично упорядоченным, если для некоторых пар и элементов множества введено некоторое соответствие, удовлетворяющее следующим условиям:

1)

2)

3) аксиома №3 не обязательна)

Пример 1:

Пространство матриц.

Введем в него соотношение порядка следующим образом:

Матрица, если матрицы и имеют одинаковые размеры, и все элементы матрицы меньше или равны соответствующих элементов матрицы.

Пример 2 (естественный):

Рассмотрим некоторое множество и обозначим через множество всех подмножеств множества.

Превратим множество в частично упорядоченное множество, считая, что для двух элементов и (некоторых подмножеств множества) выполняется, если, т. е. все точки множества принадлежат множеству.

Множество – линейно упорядоченное, если любые два его элемента сравнимы. Например, действительные числа (натуральные...).

Подмножество множества называется ограниченным сверху, если в множестве существует такой элемент, что для всех выполняется неравенство. Элемент при этом называется мажорантой множества.

Элемент множества называется максимальным элементом, если для всех элементов, сравнимых с, выполняется неравенство:

.

Лемма Цорна

Если в частично упорядоченном множестве всякое линейно упорядоченное множество имеет мажоранту, то в множестве существует максимальный элемент.

«Аргумент слаб - повысить голос»

У.Черчилль.

Определение

Пусть задано некоторое множество. Предположим, что в этом множестве:

a) для любых двух элементов и определен единственным образом элемент, который будем обозначать, и называется суммой элементов и;

b) для любого элемента из и произвольного числа определен единственным образом элемент из, который мы будем обозначать и называть произведением элемента на число.

При этом выполняются следующие аксиомы:

1) – коммутативность сложения;

2) – ассоциативность сложения;

3) в множестве существует элемент (обозначим его), такой что для любого из;

4) для каждого существует в множестве элемент, который обозначим, такой что (– элемент, противоположный элементу);

5) для любого элемента;

6) – ассоциативность умножения для любого и произвольных чисел и;

7) для любых чисел и, и произвольного числа;

8) для любых чисел и и произвольного элемента.

Тогда называется линейным (векторным) пространством, а его элементы – векторами линейного пространства.

Примеры:

§ Матрицы одного размера.

Операции сложения и умножения на число вводятся естественным образом.

– матрица, состоящая из всех нулевых элементов.

Противоположным элементом в этом пространстве для каждой матрицы будет матрица, элементы которой совпадают по величине с исходной матрицей, но противоположны по знаку.

§ Множество векторов (например, на плоскости).

[?] Будет ли линейным пространством множество квадратных трехчленов?

↓

Ясно, что это множество не будет линейным пространством:

§ Множество функций, непрерывных на промежутке:

Дата добавления: 2014-01-05