Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Генеральное и выборочное среднее арифметическое значение




2.1 Генеральная средняя

Пусть изучается дискретная генеральная совокуп­ность относительно количественного признака X.

Генеральной средней называютсреднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.

Если все значения признака генеральной совокупностиобъёма N различны, то

(2.1)

Если же значения признака имеют соответственно частоты , причём , то

(2.2)

 

т.е. генеральная средняя есть средняя взвешенная зна­чений признака с весами, равными соответствующим ча­стотам.

Замечание.Пусть генеральная совокупность объема N (например, пачка из 1000 банкнот номиналом в 500 рублей) со­держит объекты с различными значениями признака X (например, номер серии и номер банкноты ), равными. Представим себе, что из этой совокупности наудачу извлекается один объект со значением признака, например (например, банкнота серии мМ и номером 9639048). Очевидно, что вероятность того, что будет извлечён объект со значением признака , будет равна (т.е.по примеру с банкнотами вероятность извлечения данной банкноты равна ). С этой же вероятностью может быть извлечён и другой объект (по примеру – другая банкнота номиналом 500 рублей).

Таким образом, величину признака X можно рассматривать как случайную величину, возможные значения которой имеют одинаковые вероятности, равные (т.е.по примеру с банкнотами вероятность извлечения данной банкноты равна ).

Найдём математическое ожидание признака X, т.е. найдём :

 
 


(2.3)

И так,если рассматривать обследуемый признак X генеральной совокупности как случайную величину,томатематическое ожидание признакаравногенеральной средней этого признака:

 
 


(2.4)

Этот вывод мы получили, считая, чтовсе обследуемые объекты генеральной совокупности имеютразличныезначения признака.

Такой же итог будет получен, если допустить, чтогенеральная совокупность содержитпо нескольку объектов с одинаковым значением признака.Например, при исследовании пачки денежных купюр различных номиналов,полученных в качестве дохода в торговой организации за один день, по признаку – купюра номиналом в 50 рублейпоявилась 18 раз.

Обобщая полученный результатна генеральную совокупность с непрерывным распределением признака X, и в этом случае определим генеральную среднюю как математическое ожидание признака:

 
 


(2.5)

 

2.2 Выборочная средняя

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака Χ извлечена вы­борка объема «п».

Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Если все значения признака выборки объёма «n» различны, то:

(2.6)

Если же значения признака имеют соответственно частоты , причём то:

(2.7)

или

(2.8)

 

т. е. выборочная средняяестьсредняя взвешенная зна­чений признака с весами, равными соответствующим ча­стотам.

Замечание 1.Выборочная средняя, найденная по данным одной выборки,есть, очевидно, определенное число.

Если же извлекать другие выборки того же объемаиз той же генеральной совокупности, то выборочная средняя будет изменяться от выборки к выборке.

Таким образом,выборочную среднюю можно рассматривать как слу­чайную величину,а, следовательно, можно говоритьо распределениях (теоретическом и эмпирическом) выборочной средней и о числовых характеристиках этого распределения (его называют выборочным), в частности о математическом ожидании и дисперсии выборочного распределения.

Заметим, что в теоретических рассуждениях выборочные значения признака X,полученные в итоге независимых наблюдений,также рассматривают как случайные величины , имеющие то же распределение и, следовательно,те же числовые характеристики, которые имеют X.

 

Замечание 2.

Можно доказать, чтовыборочная средняяесть несмещенная оценка генеральной средней, т.е.

(2.9)

 

Замечание 3.

Используя теорему Чебышева, можно также показать, что выборочная средняяесть состоятельная оценка генеральной средней, т.е. при увеличении объёма выборки «n» выборочная средняя стремится по вероятности к генеральной средней.

Исходя из этого положения, следует свойство устойчивости выборочных средних:

Если по нескольким выборкам достаточно большого объёма из одной и той же генеральной совокупности будут найдены выборочные средние, то они будут приближённо равны между собой.

Или иначе можно сказать – чем больше объём выборки, тем меньше выборочная средняя отличается от генеральной средней.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 1301; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.02 сек.