Групповая, внутригрупповая, межгрупповая и общая дисперсии

Допустим, чтовсе значения количественного признака X совокупности, безразлично – генеральной или выборочной, разбиты на k групп. Рассматривая каждую группу как самостоятельную совокупность, можно найти групповую среднюю (см. п.п.2.3 настоящей лекции) и дисперсию значений признака, принадлежащих группе, относительно групповой средней.

Групповой дисперсией называют дисперсию признака, принадлежащих группе, относительно групповой средней.

(3.8)

Где - частота значения ; - номер группы; - групповая средняя группы ; - объём группы .

Пример 1.Найти групповые дисперсии совокупности, состоящей из следующих двух групп:

Решение. Найдем групповые средние:

Найдем искомые групповые дисперсии:

Зная дисперсию каждой группы, можно найти их среднюю арифметическую.

Внутригрупповой дисперсиейназываютсреднюю ариф­метическую дисперсий, взвешенную по объемам групп:

(3.9)

где N_J — объем группы J; — объем всей совокупности.

Пример 2. Найти внутригрупповую дисперсию по данным при­мера 1.

Решение. Искомая внутригрупповая дисперсия равна:

Зная групповые средние и общую среднюю, можно найти дисперсию групповых средних относительно общей средней.

Межгрупповой дисперсией называют дисперсию груп­повых средних относительно общей средней:

_(3.10)

где — групповая средняя группы ; Nj —объем группы ;

— общая средняя; — объем всей совокупности.

Пример 3. Найти межгруппсвую дисперсию по данным при­мера I.

Решение.Найдем общую среднюю:

Используя вычисленные выше (см. пример №1) величины = 4, =6, найдем искомую межгрупповую дисперсию:

Теперь целесообразно ввести специальный термин для дисперсии всей совокупности.

Общей дисперсией называют дисперсию значений при­знака всей совокупности относительно общей средней:

_(3.11)

Пример 4. Найти сбщую дисперсию по данным примера 1.

Решение. Найдем искомую общую дисперсию, учитывая, что общая средняя равна 14/3 (см. пример №3):

Замечание. Найденная общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий:

Отсюда следует следующая теорема:

Если совокупность состоит из нескольких групп, то общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий:

_(3.12)

Дата добавления: 2014-01-05