Однородные уравнения. Определение1. Функция называется однородной функцией измерения, если при любом значении параметра выполняется равенство:

Определение1. Функция называется однородной функцией измерения, если при любом значении параметра выполняется равенство:

Пример:

Определение2. Уравнение первого порядка называется однородным уравнением, если функция является однородной функцией нулевого измерения.

По определению однородной функции:

Положим в этом тождестве

Таким образом, однородная функция нулевого измерения зависит только от частного , и определение однородного уравнения можно дать в следующем виде:

Определение3. Однородным уравнением называется уравнение вида:

(1)

Положим в уравнении (1)

Пример:

Уравнение вида будет однородным тогда и только тогда, когда функции и являются однородными функциями одного и того же измерения. Это следует из того, что частное двух функций одного измерения является функцией нулевого измерения.

Замечание: к однородным уравнениям приводятся уравнения вида , где (1)

Если , данное уравнение является однородным. В противном случае делаем замену переменных , (2) где - новые переменные, а - постоянные.

Выберем таким образом, чтобы (3)

Система (3) имеет единственное решение, когда определитель системы не равен нулю. В этом случае получим, что исходное уравнение (1) имеет вид . Если же система (3) имеет равный нулю определитель, то это означает, что : 1) Пусть . В этом случае система (3) не имеет решения. Из пропорциональности коэффициентов следует, что уравнение (1) может быть представлено в виде . Это сводится к уравнению с разделяющимися переменными (из §1.2.). 2) Пусть . В этом случае система (3) имеет бесконечное множество решений, а уравнение (1) принимает вид - уравнение с разделяющимися переменными.

Геометрическая интерпретация: в случае, когда , числитель и знаменатель в уравнении (1), приравненные к нулю, являются уравнениями прямых, проходящих через начало координат. В общем же случае эти прямые через начало координат не проходят. Если система (3) имеет единственное решение, то с помощью замены переменных (2),мы переносим начало координат в точку пересечения этих прямых.

Пример:

Замена:

Дата добавления: 2014-01-05