Равновесия система возвращается к нему, не совершая

Носит апериодический характер. Выведенная из положения

Увеличивается, стремясь к бесконечности при критическом

2 2

А период колебаний определяется формулой

Колебаний в этом случае изменяется по закону

Где 2 2

Решение уравнения (1.37) имеет вид

Собственная частота колебаний системы.

Затухающих колебаний

Виду, представляющему дифференциальное уравнение

Уравнение (1.36) может быть приведено к стандартному

Движения пружинного маятника запишется в виде

Считая силу трения пропорциональной скорости, закон

Пружинный маятник), в которой действуют силы трения.

Рассмотрим реальную механическую систему (например,

Затухающие колебания и их характеристики

Частот и разность фаз складываемых колебаний.

По виду фигуры Лиссажу можно определить соотношение

Складываемых колебаний.

Которых зависит от соотношения частот, и разности фаз

Ских колебаний с кратными частотами, траектории движения

При сложении взаимноперпендикулярных гармониче-

В окружность.

Направление обхода эллипса определяется знаком перед

A B

2 2

К координатным осям

Ние (1.31) становится уравне-

При

Y B х

Уравнением

Гармоническим и совершается вдоль

Щее колебание так же является

Ческим.

Щее колебание является гармони-

Таким образом, результирую-

2 2

Изменяется по закону

Расстояние от начала координат

Y B x

Произвольно ориентированного относительно координатных

Уравнение (1.31) представляет собой уравнение эллипса,

A B AB

2 2

2 2

Уравнение траектории результирующего колебания.

Колебаний таким образом

Первого колебания была равна нулю. Запишем уравнения

0 х  A c o s  t, (1.29)

0 y  B cos( t  ), (1.30)

где  - разность фаз складываемых колебаний.

Х

t

Исключив из данных уравнений параметр t, получим

х y 2 хy cos sin

    . (1.31)

осей X и Y.

Рассмотрим частные случаи:

1) При  = 0 уравнение (1.31) принимает вид

A

. (1.32)

Колеблющаяся точка (рис.1.8а)

перемещается по прямой, причём

0 r  A  B cos  t. (1.33)

2) При     результирую-

прямой (рис.1.8б), описываемой

A

 . (1.34)



   уравне-

нием эллипса, приведённого

а)

y

В

-А +А х

В

-А А Х

б)

y

в) y

B - π/2

x

+π/2

- A A

Рис.1.8.

2 2 x y 1

 . (1.35)

π/2 (рис.1.8в). При равенстве амплитуд эллипс вырождается

точки имеют вид сложных кривых – фигур Лиссажу, вид

Например, при сложения двух колебаний с частотами ω

и 2 ω и разностью фаз Δφ1 =0 и Δφ2 = π/2, соответствующие

фигуры Лиссажу показаны на рис.1.9а и рис.1.9б.

.

Рис.1.9

y

В

-А +А х

-В

у

В

Х

-А +А

-В

а) б)

m x   k х  r х

􀀀􀀀 􀀀

, (1.36)

где r- коэффициент сопротивления, k -коэффициент упругости.

0 х  2  х   х  0

􀀀􀀀 􀀀

, (1.37)

где  = r/2m - коэффициент затухания; 0   k / m -

0 х  A e    t cos(t  ), (1.38)

   0   - частота затухающих колебаний.

График функции (1.38) показан на рис. 1.10. Амплитуда

A  A 0 e   t, (1.39)

 





T . (1.40)

С ростом β период затухающих колебаний

коэффициенте затухания  кр   0. При    кр процесс

колебаний (рис. 1.11).

Основные характеристики затухающих колебаний:

1) время релаксации  - время, в течении которого

амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

Дата добавления: 2014-01-05