Лекция № 1, ВА-1, валг, 2 сем, 2013

Состав курса

Ростов-на-Дону,

Математика

В.В. Трофимов

Производственно-технологический комплекс

Контрольные вопросы по теме лекции:

Лекции по векторной алгебре
для студентов первого курса,
II семестра вечернего отделения,
группы ВА-1

Курс лекций II семестра включает в себя следующие разделы векторной алгебы.

1⁰. Векторы. Основные определения. Линейные операции над векторами в геометрической форме. Свойства операций.

2⁰. Проекция вектора на ось. Аддитивность и однородность проекции. Выражение проекции через его модуль и угол между вектором и осью.

3⁰. Декартова прямоугольная система координат в пространстве. Орты координатных осей. Координаты вектора в пространстве.

4⁰. Разложение вектора по ортам. Основные задачи векторной алгебры в координатной форме.

5⁰. Скалярное произведение двух векторов, его механический смысл. Скалярное произведение векторов в координатной форме.

Тема. Векторы. Основные определения. Линейные операции над векторами в геометрической форме. Свойства линейных операций.

1. Скалярные и вкторные величины.
Основные определения векторной алгебры

В математике, физике, технических науках при решении задач используются величины двух видов: скалярные и векторные. Скалярная величина определяется одним числом, выражающим отношение этой величины к единице измерения. Примерами таких величин являются температура, объем, масса. Эти величины в соответствующем масштабе могут быть изображены на шкале (числовой прямой). Отсюда их название скалярные: шкала на латыни – это Scala

Для определения векторной величины, кроме численного значения, необходимо знать ее направление. Векторными величинами являются, например, сила, скорость, перемещение точки при движении тела. Для выражения скалярных величин используют действительные числа (скаляры), векторных величин ‑ векторы.

Определение 1.1. Вектором называется направленный отрезок, то есть отрезок, у которого различают начало и конец.

Если – начало вектора, а – его конец, то вектор обозначают символом . Кроме этого вектор обозначается малой латинской буквой с чертой или стрелкой наверху, например , или такой же буквой, напечатанной «жирным» шрифтом, например a. Начало вектора называется точкой его приложения; прямая , на которой расположен вектор, называется линией его действия (рис. 1.1).

В механике и математике рассматриваются три вида векторов: связанные, скользящие и свободные. В нашем курсе мы будем рассматривать только свободные вектора.

Вектор называется свободным, если его можно переносить в пространстве параллельно самому себе.

Если вектор перенесен так, что его начало совпадает с некоторой точкой (например, с точкой ) будем говорить: вектор приведен к этой точке (к точке ).

Характеристиками вектора являются его направление и его длина (модуль).

Определение 1.2. Модулем вектора называется его длина. Модуль вектора обозначается символом или.

Определение 1.3. Вектор называется нулевым (нуль – вектором), если его начало и конец совпадают.

Нулевой вектор обозначается символом . Он не имеет определенного направления, поэтому его направление можно выбирать произвольно, модуль нулевого вектора равен нулю: .

Определение 1.4. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным. Одно из обозначений единичного вектора, .

Определение 1.5. Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых (рис. 1.2).

Коллинеарность векторов обозначается символом . На рис. 1.2 | |, | |, | |. Если коллинеарные векторы имеют одинаковые направления (сонаправлены), то используется символ ↑↑, если противоположные направления ‑ символ ↑↓. На рис. 1.2 , , .

Определение 1.6. Единичный вектор, сонапраленный с вектором , называется ортом этого вектора.

Определение 1.7. Векторы и (рис. 1.2) называются равными (), если они сонаправлены и имеют равные модули, то есть и .

Определение 1.8. Векторы и (рис. 1.2) называются противоположными (), если они противоположно направлены и имеют равные модули, то есть и .

Определение 1.9. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях.

На рис. 1.3 , , , , поэтому векторы – компланарные.

Рис. 1.3

Определение 1.10. Тройка некомпланарных векторов , приведенных к общему началу, называется правой (левой), если наблюдатель, находящийся в конце третьего вектора , видит кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору против движения часовой стрелки (по движению часовой стрелки).

На рис. 1.4, а векторы образуют правую тройку, на рис. 1.4, б – левую тройку.

Рис. 1.4

Дата добавления: 2014-01-05