Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Сложение




Упражнения

1. Можно ли аксиому 3 сформулировать в таком виде: «Для каждого элемента а из N существует единственный элемент, за которым непосредственно следует а»?

2. Выделите условие и заключение в аксиоме 4, запишите их, используя символы Î, =>.

3. Продолжите определение натурального числа: «Натуральным числом называется элемент множества N,...».

По правилам построения аксиоматической теории, определение сложения натуральных чисел нужно ввести, используя только отно­шение «непосредственно следовать за», и понятия «натуральное чис­ло» и «предшествующее число».

Предварим определение сложения следующими рассуждениями. Если к любому натуральному числу а прибавить 1, то получим число а', не­посредственно следующее за а, т.е. а + 1 = а' и, следовательно, мы получим правило прибавления 1 к любому натуральному числу. Но как прибавлять к числу а натуральное число b, отличное от 1? Вос­пользуемся следующим фактом: если известно, что 2 + 3 = 5, то сумма 2+4 равна числу 6, которое непосредственно следует за числом 5. Происходит так потому, что в сумме 2 + 4 второе слагаемое есть число, непосредственно следующее за числом 3. Таким образом, сумму а + b' можно найти, если известна сумма а + b. Эти факты и положены в основу определения сложения натуральных чисел в аксиоматической теории. Кроме того, в нем используется понятие алгебраической опе­рации.

Определение. Сложением натуральных чисел называется алгеб­раическая операция, обладающая свойствами:

1) (" а Î N) а + 1 = а', 2) (" а, b Î N) а + b' =(а + b)'.

Число а + b называется суммой чисел а и b, а сами числа а и b - слагаемыми.

Как известно, сумма любых двух натуральных чисел представляет собой также натуральное число, и для любых натуральных чисел а и b сумма а + b - единственна. Другими словами, сумма натуральных чисел существует и единственна. Особенностью определения является то, что заранее не известно, существует ли алгебраическая операция, обладающая указанными свойствами, а если существует, то единст­венна ли она? Поэтому при аксиоматическом построении теории на­туральных чисел доказывают следующие утверждение:

Теорема 3. Сложение натуральных чисел существует и оно един­ственно.

Эта теорема состоит из двух утверждений (двух теорем):

1) сложение натуральных чисел существует;

2) сложение натуральных чисел единственно.

Как правило, существование и единственность связывают вместе, но они чаще всего не зависят друг от друга. Существование какого-либо объекта не подразумевает его единственность. (Например, если вы говорите, что у вас есть карандаш, то это не значит, что он только один.) Утверждение о единственности означает, что не может сущест­вовать двух объектов с заданными свойствами. Единственность часто доказывается методом от противного: предполагают, что имеется два объекта, удовлетворяющих данному условию, а затем выстраивают цепочку дедуктивных умозаключений, приводящую к противоречию.

Чтобы убедиться в истинности теоремы 3, сначала докажем, что если в множестве N существует операция, обладающая свойствами 1 и 2, то эта операция единственная; затем докажем, что операция сложения со свойствами 1 и 2 существует.

Доказательство единственности сложения. Допустим, что в множестве N существует две операции сложения, обладающие свойст­вами 1 и 2. Одну из них обозначим знаком +, а другую - знаком Å. Для этих операций имеем:

1) а+1=а'; 1) а Å 1=а';

2) а + b ' = (а + b)' 2) а Å b' = Å b)'.

Докажем, что если

(" а, b Î N) а + b = а Å b. (1)

Пусть число а выбрано произвольно, а b принимает различные на­туральные значения. Обозначим через М множество всех тех и только тех чисел b, для которых равенство (1) истинно.

Нетрудно убедиться в том, что 1 Î М. Действительно, из того, что а + 1= а' = а Å 1 следует, что а + 1 = а Å 1.

 

Докажем теперь, что если b Î М, то b'Î М, т.е., если а + b = а Å b, то а + b ' =

а Å b'. Так как а + b= а Å b, то по аксиоме 2 + b)' = (а Å b)' и тогда а + b ' = (а + b)' =(а Å b)' = а Å b'. Поскольку множество М содержит 1 и вместе с каждым числом b содержит и число b', то по аксиоме 4, множество М совпадает с N, а значит, равенство (1) истинно для любого натурального числа b. Так как число а было выбрано произвольно, то равенство (1) верно при любых натуральных числах а и b, то есть операции + и Å на множестве N могут отличаться друг от друга только обозначениями.

 

Доказательство существования сложения. Покажем, что алгебраическая операция, обладающая свойствами 1 и 2, указанными в определении сложения, существует.

Пусть М - множество тех и только тех чисел а, для которых можно определить а + b так, чтобы были выполнены условия 1 и 2. Покажем, что 1 Î М. Для этого при любом b положим

1 + b = b '. (2)

Тогда:

1) 1 + 1 = 1 '- по правилу (2), т.е выполняется равенство а + 1 = а при а = 1.

2) 1 + b ' = (b ') ' = (1 + b)' - по правилу (2.), т.е. выполняется равенство а + b ' = (а + b)' при а = 1.

Итак, 1 принадлежит множеству М.

Предположим, что а принадлежит М. Исходя из этого предположения, покажем, что и а' содержится в М. т.е. что можно определить сложение а и любого числа b так, чтобы выполнялись условия 1 и 2.

Для этого положим:

а' + b = + b) ' (3)

Так как по предположению число а + b определено, то по аксиоме 2 единственным образом определяется и число (а + b)'. Проверим, что при этом выполняются условия 1 и 2:

1) а' + 1 = (а + 1)' = (а ')'. Таким образом, а' + 1 = (а ')'.

2) а ' + b' = (а + b')' = ((а + b)') ' = (а' + b')'. Таким образом, а' + b' = (а' + b)'.

Итак, показали, что множество М содержит 1 и вместе с каждым числом а содержит число а'. По аксиоме 4, заключаем, что множество М есть множество натуральных чисел. Таким образом, существует пра­вило, которое позволяет для любых натуральных чисел а и b одно­значно найти такое натуральное число а + b, что выполняются свой­ства 1 и 2. сформулированные в определении сложения.

Покажем, как из определения сложения и теоремы 3 можно вы­вести хорошо известную всем таблицу сложения однозначных чисел.

Условимся о следующих обозначениях: 1 ' = 2; 2' = 3; 3' = 4; 4' = 5 и т.д.

Составляем таблицу в такой последовательности: сначала к любо­му однозначному натуральному числу прибавляем единицу, затем число два, потом - три и т.д.

1 + 1 = 1 ' на основании свойства 1 определения сложения. Но 1 ' мы условились обозначать 2. следовательно, 1+1=2.

Аналогично 2+1 = 2' = 3; 3 + 1 = 3' = 4 и т.д.

Рассмотрим теперь случаи, связанные с прибавлением к любому однозначному натуральному числу числа 2.

1+2=1 + 1 ' - воспользовались принятым обозначением. Но 1 + 1 ' = (1 +!)' согласно свойству 2 из определения сложения, 1 + 1 - это 2, как было установлено выше. Таким образом,

1 + 2 = 1 + 1' = (1 + 1)' = 2' = 3.

Аналогично 2 + 2 = 2 + 1 ' = (2 + 1)' = 3' = 4; 3 + 2 = 3 + 1' = (3 + 1)' = 4' = 5 и т.д.

Если продолжить этот процесс, получим всю таблицу сложения однозначных чисел.

Следующий шаг в аксиоматическом построении системы нату­ральных чисел - это доказательство свойств сложения, причем пер­вым рассматривается свойство ассоциативности, затем коммутатив­ности и др. Доказательства теорем следует рассмотреть как упражнения.

Теорема 4. (" а, b, с Î N) (а + b) + с = а + (b + с).

Теорема 5. (" а, b Î N) а + b = b + а.

Теорема 6. (" а, b Î N) а + b ¹ b.

Все доказанные свойства изучаются в начальном курсе математики и используются для преобразования выражений.

Упражнения

1. Верно ли, что каждое натуральное число получается из предыдущего прибавлением единицы?

2. Используя определение сложения, найдите значение выражений:

а) 2 + 3; б) 3 + 3; в) 4 + 3.

3. Какие преобразования выражений можно выполнять, используя
свойство ассоциативности сложения?

4. Выполните преобразование выражения, применив ассоциативное свойство сложения:

а) (12 + 3)+17; б) 24+ (6+19); в) 27 + 13+18.

5. Докажите, что (" а, b Î N) а + b ¹ а.

6. Выясните, как формулируются в различных учебниках математики для начальной школы:

а) коммутативное свойство сложения;

б) ассоциативное свойство сложения.

7. В одном из учебников для начальной школы рассматривается
правило прибавления числа к сумме на конкретном примере (4 + 3) + 2
и предлагаются следующие пути нахождения результата:

а) (4 + 3) + 2 = 7 + 2 = 9;

б) (4 + 3) + 2 = (4 + 2) + 3 = 6 + 3 = 9;

в) (4 + 3) + 2 = 4 + (2 + 3) = 4 + 5 = 9.

Обоснуйте выполненные преобразования. Можно ли утверждать, что правило прибавления числа к сумме есть следствие ассоциативно­го свойства сложения?

8. Известно, что а + b= 17. Чему равно:

а) а + (b + 3); b) (а + 6 )+ b; в) (13 + b) + а?

9. Опишите возможные способы вычисления значения выражения вида

а + b + с. Дайте обоснование этим способам и проиллюстрируйте их на конкретных примерах.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 4531; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.034 сек.