Теорема 16

а = b => а + с = b + с и а с = b с;

а < b => а + с < b + с и ас < bс;

а > b => а + с > b + с и ас > bс.

Доказательство. 1) Справедливость этого утверждения вытекает из единственности сложения и умножения.

2) Если а < b, то существует такое натуральное число k, что а + k = b.
Тогда b + с = (а + к) + с = а + (к + с) = а + (с + к) = (а + с) + к. Равенство b + с = (а + с) + к означает, что а + с < b + с.

Точно так же доказывается, что а < b => ас < bс.

3) Доказывается аналогично.

Теорема 17 (обратная теореме 16).

1) а + с = Ь + с или ас ~ Ьс- Þ а = Ь

2) а + с < Ь + с или ас < Ьс Þ а < Ь:

3) а + с > Ь + с или ас > Ьс Þ а > Ь.

Доказательство. Докажем, например, что из ас < bс следует а < b Предположим противное, т.е. что заключение теоремы не выполняется. Тогда не может быть, что а = b. так как тогда бы выполнялось равенство ас = bс (теорема 16); не может быть и а > b, так как тогда бы ас > bс (теорема!6). Поэтому, согласно теореме 12, а < b.

Из теорем 16 и 17 можно вывести известные правила почленного сложения и умножения неравенств. Мы их опускаем.

Теорема 18. Для любых натуральных чисел а и b; существует та­кое натуральное число n, что п b> а.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любого а найдется такое число п, что п > а. Для этого достаточно взять п = а + 1. Перемножая почленно неравен­ства п > а и b > 1, получаем пb > а.

Из рассмотренных свойств отношения «меньше» вытекают важные особенности множества натуральных чисел, которые мы приводим без доказательства.

1. Ни для одного натурального числа а не существует такого натурального числа п, что а < п < а + 1. Это свойство называется свойством
дискретности множества натуральных чисел, а числа а и а + 1 называют соседними.

2. Любое непустое подмножество натуральных чисел содержит
наименьшее число.

3. Если М - непустое подмножество множества натуральных чисел
и существует такое число b, что для всех чисел х из М выполняется не­
равенство х < b, то в множестве М есть наибольшее число.

Проиллюстрируем свойства 2 и 3 на примере. Пусть М - множество двузначных чисел. Так как М есть подмножество натуральных чисел и для всех чисел этого множества выполняется неравенство х < 100, то в множестве М есть наибольшее число 99. Наименьшее число, содержа­щееся в данном множестве М, - число 10.

Таким образом, отношение «меньше» позволило рассмотреть (и в ряде случаев доказать) значительное число свойств множества нату­ральных чисел. В частности, оно является линейно упорядоченным, дискретным, в нем есть наименьшее число 1.

С отношением «меньше» («больше») для натуральных чисел млад­шие школьники знакомятся в самом начале обучения. И часто, наряду с его теоретико-множественной трактовкой, неявно используется оп­ределение, данное нами в рамках аксиоматической теории. Например, учащиеся могут объяснить, что 9 > 7 так как 9 - это 7+2. Нередко и неявное использование свойств монотонности сложения и умножения. Например, дети объясняют, что «6 + 2 < 6 + 3, так как 2 < 3».

Дата добавления: 2014-01-06