Упорядоченность множества натуральных чисел

Упражнения

1.. Используя определение умножения, найдите значения выражений:
а) 3 • 3; 6) 3 • 4; в) 4 • 3.

2. Запишите свойство дистрибутивности умножения слева относительно сложения и докажите его. Какие преобразования выражений возможны на его основе? Почему возникла необходимость в рассмотрении дистрибутивности умножения слева и справа относительно сложения?

3. Докажите свойство ассоциативности умножения натуральных чисел. Какие преобразования выражений возможны на его основе? Изучается ли это свойство в начальной школе?

4. Докажите свойство коммутативности умножения. Приведите примеры его использования в начальном курсе математики.

5. Какие свойства умножения могут быть использованы при нахождении значения выражения:

а) 5 • (10 + 4); 6)125 • 15 • 6; в) (8 • 379) • 125?

6. Известно, что 37 • 3 = 111. Используя это равенство, вычислите:

а) 37 • 18; 6) 185 • 12.

Все выполненные преобразования обоснуйте.

7. Определите значение выражения, не выполняя письменных вычислений. Ответ обоснуйте:

а) 8962 • 8 + 8962 • 2; б) 63402 • 3 + 63402 • 97; в) 849 +849 • 9.

8.. Какие свойства умножения будут использовать учащиеся началь­ных классов, выполняя следующие задания:

Можно ли, не вычисляя, сказать, значения каких выражений будут одинаковыми:

а) 3 • 7 + 3 • 5; 6) 7 • (5 + 3): в) (7 + 5) • 3?

Верны ли равенства:

а) 18 • 5 • 2 = 18 • (5 • 2); в) 5 • 6 + 5 • 7 = (6 + 7) • 5;

б) (3 • 10) •17 = 3 • 10 • 17; г) 8 • (7 + 9) = 8 • 7 + 9 • 8?
Можно ли, не выполняя вычислений, сравнить значения выражений:

а) 70 • 32 + 9 • 32...79 • 30 + 79 • 2; 6) 87 • 70 + 87 • 8... 80 • 78 + 7 • 78?

Лекция 33. Вычитание и деление целых неотрицательных чисел

План:

1. Упорядоченность множества натуральных чисел.

2. Определение вычитания целых неотрицательных чисел

3. Деление целых неотрицательных чисел. Невозможность деления на нуль. Деление с остатком.

Как известно, множество натуральных чисел можно упорядочить при помощи отношения «меньше». Но правила построения аксиома­тической теории требуют, чтобы это отношение было не только опре­делено, но и сделано это на основе уже определенных в данной теории понятий. Сделать это можно, определив отношение «меньше» через сложение.

Определение. Число а меньше числа b (а < b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.

При этих условиях говорят также, что число b больше а и пишут b > а.

Теорема 12. Для любых натуральных чисел а и b имеет место одно и только одно из трех отношений: а = b, а > b, а < b.

Доказательство этой теоремы мы опускаем. Из этой теоремы вы­текает, что если

а ¹ b, то либо а < b, либо а > b, т.е. отношение «меньше» обладает свойством связанности.

Теорема 13. Если а < b и b < с. то а < с.

Доказательство. Эта теорема выражает свойство транзитив­ности отношения «меньше».

Так как а < b и b < с. то, по определению отношения «меньше», найдутся такие натуральные числа к и /, что b = а + к и с = b + I. Но тогда с = (а + к) + / и на основания свойства ассоциативности сло­жения получаем: с = а + (к + /). Поскольку к + I - натуральное число, то, согласно определению «меньше», а < с.

Теорема 14. Если а < b, то неверно, что b < а. Доказательство. Эта теорема выражает свойство антисиммет­ричности отношения «меньше».

Докажем сначала, что ни для одного натурального числа а не вы-!>!•■•)ея отношение а < а. Предположим противное, т.е. что а < а имеет место. Тогда, по определению отношения «меньше», найдется такое натуральное число с, что а + с = а, а это противоречит теореме 6.

Докажем теперь, что если а < b, то неверно, что b < а. Предположим противное, т.е. что если а < b, то b < а выполняется. Но из этих равенств по теореме 12 имеем а < а, что невозможно.

Так как определенное нами отношение «меньше» антисимметрично и транзитивно и обладает свойством связанности, то оно является отношением линейного порядка, а множество натуральных чисел линейно упорядоченным множеством.

Из определения «меньше» и его свойств можно вывести известные свойства множества натуральных чисел.

Теорема 15. Из всех натуральных чисел единица является наименьшим числом, т.е. I < а для любого натурального числа а¹1.

Доказательство. Пусть а - любое натуральное число. Тогда возможны два случая: а = 1 и а ¹ 1. Если а = 1, то существует натуральное число b, за которым следует а: а = b ' = b + I = 1 + b, т.е., по определению отношения «меньше», 1 < а. Следовательно, любое натураль­ное равно 1 либо больше 1. Или, единица является наименьшим натуральным числом.

Отношение «меньше» связано со сложением и умножением чисел свойствами монотонности.

Дата добавления: 2014-01-06