Сообщения, сигналы и помехи как случайные процессы

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

Модель Попова - Турина

Предполагается существование в канале независимо возникающих групп ошибок, внутренняя структура групп не сводится к независимым ошибкам [7].

Каждая позиция последовательности ошибок может стать началом цепочки пакетов ошибок с вероятностью, не зависящей от того, на каких других позициях возникли цепочки.

Распределение длин цепочек предполагается геометрическим. Внутри цепочек независимо появляются пакеты ошибок, длины которых распределены по геометрическому закону. Внутри пакетов задается условная вероятность появления ошибок. Таким образом, в канале возможны два состояния – безошибочное и состояние цепочки пакетов ошибок.

ГЛАВА 2

Детерминированное сообщение не содержит никакой информации. Источник информации рассматривается как устройство, осуществляющее выбор из некоторого множества возможных сообщений.

Сообщение возникает с определенной вероятностью. Множество, на котором задана вероятностная мера, называется ансамблем. Ансамбль {x(t)} функций времени есть случайный процесс. Входящая в него функция x(t) называется выборочной функцией или реализацией случайного процесса [8].

Для переноса информации необходимо установить соответствие между каждым сообщением из ансамбля и определенной реализацией сигнала. Помехи воздействуют на сигнал и по сигналу о сообщении можно судить с определенной вероятностью.

Сообщение, сигнал, помеха являются случайными процессами, которые задаются на конечном отрезке времени.

Скалярный случайный процесс может быть задан вероятностью того, что x(t) в моменты времени t₁,t₂,…t_n, не превышает значений x₁,x₂,…,x_n (см. рис.2.1.) [9]:

.

Случайная величина x(t_k) - есть сечение случайного процесса.

Рис.2.1

Если существуют частные производные функции распределения вероятностей по x_i, i=1,2,…,n, то можно определить n–мерную плотность распределения вероятностей

.

Например, достаточно распространенным сигналом является сигнал, плотность которого имеет вид

,

где A_n, c_ij, a_i, a_j - некоторые постоянные. При n=1 одномерная плотность распределения имеет вид (нормальное распределение)

.

Среднее значение процесса по ансамблю (математическое ожидание) определится формулой

,.

где w(x,t) - одномерная плотность распределения для сечения t.

Разность между случайным процессом и его математическим ожиданием называют центрированным процессом и обозначают .

Математическое ожидание квадрата центрированного процесса называется дисперсией и определяется формулой

.

Функцией корреляции (автокорреляции) B_x(t₁,t₂) называется математическое ожидание произведения двух сечений центрированного случайного процесса в точках t₁ и t₂

,

где w(x₁,x₂,t₁,t₂) - двумерная плотность распределения сечения по t₁ и t₂.

Функция взаимной корреляции двух случайных процессов определится формулой

,

где w(x₁,y₂,t₁,t₂) - двумерная плотность распределения сечения по t₁ процесса X и сечения по t₂ процесса Y.

Случайный процесс, у которого математическое ожидание и дисперсия не зависят от t, а функция корреляции зависит от t=t₂-t₁ и не зависит от t₁ и t₂, называется стационарным.

Помимо средних значений по ансамблю, можно определить средние значения случайного процесса по времени. Для финитного случайного процесса, заданного на (t₁,t₂), постоянная составляющая определится по формуле [10]

.

Если случайный процесс задан на (t,¥), то в этом случае

.

Процесс называется переменной составляющей.

Среднее по времени значение квадрата переменной составляющей

также является случайной величиной, не зависящей от t, и называется мощностью переменной составляющей.

Стационарные процессы называют эргодическими, если для них усреднение во времени приводит к тем же результатам, что и статистическое усреднение. Математическое ожидание для этих процессов равно постоянной составляющей, а дисперсия равна мощности переменной составляющей. Грубо говоря, эргодичность процесса состоит в том, что все его реализации похожи друг на друга. Функция коррекции эргодического процесса вычисляется по одной реализации усреднением во времени:

.

Функция корреляции стационарного случайного процесса имеет обозначение B_x(t), где t - разность между двумя сечениями. Функция симметрична, т.к.

.

При t=0 значение функции автокорреляции равно дисперсии

.

При любом t B_x(t)£D { x(t) }, т.е. B_x(t) максимальна при t=0.

Нормированная функцией корреляции или коэффициент корреляции случайного процесса x(t) определится

.

Для случайного стационарного процесса R_x(t)=B_x(t)/D { x(t) }, R_x(t)=R_x(-t),R_x(0)=1, |R_x(t)|£1.

Величина R_x(t) является в известной степени мерой статистической зависимости между сечениями процесса, отстоящими на интервале t.

Дата добавления: 2014-01-06